ANÁLISE COMBINÁTORIA

Analise Combinatória – Conteúdo

Principio Fundamental de Contagem

O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:

Np = m1 . m2 . m3 …..mn

Exemplo 1:

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Exemplo 2:

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?

Podemos escrever 3 .3 . 3 = 27 números de 3 algarismos.
Três algarismos distintos: 3 . 2 . 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

Exemplo 3:

De quantas maneiras distintas podemos formar placas de automóveis, com 3 letras e 4 algarismos?

Considere as letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9.Considerando as 26 letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9, teremos:

figura  1 comb

Aplicando a regra do produto, temos:

26 . 26 . 26 .10 .10 .10 . 10 = 175 760 000 placas. 

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)  ….3 . 2 . 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800

Observe atentamente os exemplos seguintes:

(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!

(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!

(n + 1)! = (n + 1) . n!

Permutações sem repetição

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é:

Pn = n!   
Exemplos1:

P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exemplos 2:

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplos 3:

Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

P3=3! = 3.2.1 = 6

Permutações com elementos repetidos

 Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

figura  2 comb

Exemplos1:

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2.

P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151.200 anagramas.

Arranjos simples

Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos tomados de 2 em 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos tomados de 3 em 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p (taxa k) por An,p , teremos a seguinte fórmula:

An, p = n! / (n−p)!

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

 Exemplos:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1, 2,.,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

Combinações simples

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplos 1:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.

Representando por Cn,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p, temos a seguinte fórmula:

Cn,p  = n! / p! (n − p)!

 Exemplos 2:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3.003

Permutação circular

Na matemática, permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

É definida pela fórmula:

Pc(m) = (m − 1)!

Exemplos 1:

P(4) = (4-1)! = 3! = 6Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Exemplos 2:

Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?

P(10) = (10-1)! = 9! = 362880

Exemplos 3:

5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem formar a roda sem que haja repetição?
P(5) = (5-1)! = 4! = 24

Questões de Analise Combinatória

1. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Dispomos de cinco cores distintas; todas elas deverão ser usadas para pintar cada letra da palavra “copeve”, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isto?

A) 125       B) 120     C) 105     D) 145        E) 13

Resolução – (Questão 1) – Análise Combinatória – pdf      Resolução – (Questão 1) – Análise Combinatória – doc

2. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Dispomos O técnico da seleção brasileira precisa definir um time titular formado por 11 jogadores. Sabendo-se que o time deve ser definido dentro de um plantel de 15 jogadores, e que no futebol moderno todos os jogadores podem jogar em todas as posições, o número de escalações diferentes que pode ser formado com esse grupo é

A) 30.      B) 165.     C) 1326.      D) 1365.      E) 2165.

Resolução – (Questão 2) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 2) – Análise Combinatória – doc

3. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Um cidadão foi abrir o cofre, mas esqueceu a senha de acesso; no entanto, lembrava que na senha não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 4, o segundo era impar, o terceiro era menor que 4 e o quarto e último era par. Qual o maior número de tentativas que este cidadão pode fazer, no intuito de descobrir a senha?

A) 110     B) 60        C) 70           D) 100             E) 80

Resolução – (Questão 3) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 3) – Análise Combinatória – doc

4. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012)  Apesar de todos os caminhos levarem a cidade de Maceió eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem seis caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade de Salvador para a cidade de Aracaju mais oito caminhos de Aracaju, e sabendo-se que Marcos saiu de carro de Salvador até Maceió, passando necessariamente por Aracaju, de quantos modos Marcos poderá fazer esse percurso?

A) 24        B) 48       C) 40        D) 38       E) 14

Resolução – (Questão 4) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 4) – Análise Combinatória – doc

 5. (COPEVE – CASAL –  2014) O Departamento de Recursos Humanos de uma empresa tem oito funcionários. Com esses funcionários, quantas comissões com três membros podem ser formadas?

A) 8         B) 28        C) 56          D) 488          E) 5 040

Resolução – (Questão 5) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 5) – Análise Combinatória – doc

6.  (COPEVE – CASAL – 2014) Quantos triângulos têm vértices nos pontos A, B, C, D, e E da figura?

A) 8      B) 5      C) 10    D) 12    E) 14

Resolução – (Questão 6) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 6) – Análise Combinatória – doc

7. (COPEVE – FEIRA – GRANDE 2014) Quantas linhas de telefone celular são identificadas por uma sequência de 8 dígitos, com os 4 primeiros distintos entre si e não nulos?

A) 4 x 104            B) 32 x 108           C) 3024 x 104     D) 6521 x 104     E) 6521 x 108

Resolução – (Questão 7) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 7) – Análise Combinatória – doc

8. (COPEVE – FEIRA – GRANDE 2014) Uma Cooperativa de Leite de Alagoas identifica cada caixa de leite do tipo integral com uma sequência de três letras seguida por três algarismos e cada caixa de leite desnatado com uma sequência de três letras seguida de quatro algarismos. As caixas de leite são identificadas pelas letras CLA e pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Sabe-se, também, que as caixas são identificadas sem a repetição de letras e algarismos e a identificação nunca é repetida. Quantas caixas de leite a Cooperativa pode identificar com esse sistema?

Resolução – (Questão 8) – Análise Combinatória – pdff     Resolução – (Questão 8) – Análise Combinatória – doc

A) 2 016         B) 4 032           C) 8 064          D) 10 080        E) 12 096

9. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) O código de barras de identificação dos equipamentos de uma empresa é formado por uma Sequência de 3 barras de 2,5 mm e 4 barras de 1,0 mm. Se cada sequência identifica um único equipamento, quantos equipamentos diferentes podem ser identificados?

A)11.           B)12.           C)30.       D) 32.         E)35.

Resolução – (Questão 9) – Análise – Video

10. (COPEVE – UFAL – 2014) Para a realização de uma avaliação, um professor disponibilizou 10 questões, devendo cada aluno escolher 4 delas. Considerando a possibilidade de escolhas de questões diferentes, de quantos modos um aluno pode fazer esta avaliação?

A) 240         B) 210              C) 120           D) 40            E) 24

Resolução – (Questão 10) – Análise – Vídeo

11. (COPEVE – UFAL – 2010 – Prefeitura de Rio Largo) – Um aluno escreveu como tarefa de casa todos os números inteiros de 1 até 200. Podemos afirmar que nesta tarefa de casa o referido aluno escreveu o algarismo 9 quantas vezes?

A) 28 vezes.        B) 18 vezes.      C) 40 vezes.       D) 30 vezes.       E ) 38 vezes.

Resolução – (Questão 11) – Análise Combinatória – PDF     Resolução – (Questão 11) – Análise Combinatória – doc

12. (COPEVE –  UFAL – 2012) – Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve ser escolhida em uma turma com vinte estudantes, para participar de uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpíada no ano anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte da equipe?

A) 3.872       B) 3.874          C) 3.876          D) 3.878                     E) 3.880

Resolução – (Questão 12) – Análise- Combinatória – Vídeo

13. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Quantos anagramas da palavra escolas começam com a letra c?

A) 5 040.            B) 720              C) 360.             D) 240.            E) 120.

Resolução – (Questão 13) – Análise- Combinatória – Vídeo

14(COPEVE – TRINCHEIRAS – 2014) Numa sala há 8 lâmpadas diferentes. Cada uma delas pode estar acesa ou apagada. De quantos modos diferentes esta sala pode ser iluminada?

A) 40 320            B) 255          C) 256           D) 5 040          E) 1 024

 Resolução – (Questão 14) – Análise- Combinatória – Vídeo

15. (CESGRANRIO – 2013 – BNDS – TÉCNICO ADMINISTRÁTIVO) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco.

De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?

A) 13       B) 14      C) 16    D) 17      E) 18

 Resolução – (Questão 15) – Análise- Combinatória – Vídeo

 GABARITO: 

1.B      2. D      3. B     4.B       5.C       6.C       7. C      8.E       9.E      10.B      11.C       12.C        13.C       14.B    15.C