CONJUNTOS

Noções Básicas de Conjunto

Representação de um conjunto

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos representados entre chaves por letras minúsculas.

Exemplos:
– O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,…, z}.
– O conjunto dos dias da semana; S= {segunda, terça,… domingo}  
– A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras:

1 – Por extensão:

Quando o número de elementos são finitos pequeno  suficiente para representá-los explicitamente.

Exemplos:
– Conjunto dos meses do ano; A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,…, Novembro, Dezembro}
– Conjunto das vogais; V = {a, e, i, o, u}
– Conjunto dos números pares positivos; P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}

 2 – Por compreensão:

Um conjunto é representado por compreensão quando: é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos. Isto é, uma propriedade que os seus e só os seus elementos possuam.

Exemplos:
B = {meses do ano}
D =  {os meus CDs de música}
P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N}
Q= {x ∊ N: x é primo}
R = {x: x é um número natural par e positivo}
S = {x ∊ Z: 2≤x<5}

 3 – Por Diagrama

Consiste em representar os elementos de um conjunto internamente a um retângulo (geralmente) e os elementos dos subconjuntos, limitados por uma linha fechada e não entrelaçada.

Exemplo:

A é o conjunto das vogais do nosso alfabeto

Figura 1 conj

Conjunto unitário

É o conjunto que possui um único elemento.

Exemplo:
A= { fevereiro},
B =  { número primo que é par}.

Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elementos. É representado por: { } ou Ø.

Exemplo:
Assim teríamos: A= { } ou A = Ø

 Relação de pertinência

 Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto.

Exemplos:
F = {0, 2, 4, 6, 8,…}
2  ∈  F →  lê-se: 2 pertence a F.
3  ∉  F→ lê-se: 3 não pertence a F.

Relação de Inclusão

Usamos os símbolos de inclusão de conjunto na relação entre dois conjuntos.

⊂  →  está contido             ⊄  →  não está contido        ⊃  →  contém         ⊅  →  não contém       ⊆   →  está contido ou é subconjunto ou é uma parte            A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)

Exemplos:

1)  Dados os conjuntos abaixo, E = {-2, -1, 0}, F = {0, 2, 4, 6, 8, …} e  G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Podemos afirmar que F ⊂  G, G ⊃ F, E ⊅ F, F ⊄ E

2) A ⊂ B ou B ⊃ A

Fiigura 2 conj

Subconjuntos 

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim: A ⊂ B, que se lê: A está contido em B. Simbolicamente escrevemos:   A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

O conjunto A = {2, 3, 4, 5} é um subconjunto de  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a recíproca não é verdadeira). Quando dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum (C = D), implica em: C ⊂ D e D ⊂ C. Por exemplo o conjunto C ={3, 6, 9}  está contido em D = {9, 3, 6} e vice-versa.

Caso exista pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B.  Simbolicamente escrevemos:   ∃x /  (x ∈ A e x ∉  B) ⇒ A ⊄ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos possíveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que é representado por P (A).    

 P(A) = {x/x ⊂ A}

Exemplo:
Sendo o conjunto A={2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue:
Com zero elemento – { }

Com um elemento – {2}, {3}, {5}
Com dois elementos – {2,3}, {2, 5}, {3, 5}
Com três elementos – {2,3, 5}

Assim, temos:P(A) = { {  }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2, 5}, {3, 5}, {2,3, 5} }

Pode-se demonstrar que, se n(P(A)) = k então, o número de elementos que formam o conjunto das partes de A, é dado por (P(A))=2k.

Operações com conjuntos

 1 – União

A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se: C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:  A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo:

Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7}  e, B = {1, 3, 4},  temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7}  Também podemos representar a união usando diagramas:

Fiigura 3 conj

2 – Intersecção

Chamamos de intersecção de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constituído pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos: A ∩ B, lê-se: “A intersecção B“, ou por simplicidade “A inter B“. Esquematicamente temos: A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}

Exemplo:

Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos: L   V = {a, o} . Em diagramas:

Fiigura 4 conj

3 – Diferença

Denominamos diferença AB (lê-se: A menos B), o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B, seja: Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos:, temos que a diferença LV = {c, r, l,  s} .

Em diagramas: A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}

4 – Número de elementos da união de dois conjuntos


Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A B).  A relação utilizando o diagrama:

Fiigura 5 conj

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

5- Número de elementos da união de três conjuntos

Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:

Fiigura 6 conj

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)

Exemplo
Uma avaliação contendo duas questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:

– 50 alunos acertaram as duas questões.
– 100 alunos acertaram a primeira questão.
– 99 alunos acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?
1º questão = n(A)
2º questão = n(B)
Acertaram as duas questões → n(A ∩ B) = 50
Acertaram somente a questão A → n(A) – n(A ∩ B) = 100 – 50 = 50
Acertaram somente a questão B → n(B) – n(A ∩ B) = 99 – 50 = 49
Erraram as duas questões → U – n(A) – n(B) – n(A∩ B) = 200 – 50 – 50 – 49 = 51
figura 7 conj

Exercícios para resolvermos no curso

1) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Resposta:

O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 :
O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 – 870 = 130 ;
O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

2) (PUC) – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.2) (PUC) – Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ? .

Programas  E   N  H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

A) 200      B) os dados do problema estão incorretos       C) 900          D) 100        E) N.D.A

Resposta : Letra a

Questões de Conjuntos

1. (COPEVE – PRE-VESTIBULAR – COPEVE 2008) Na figura abaixo se têm representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos:

QUESTÃO 1 CONJUNTOS

A região sombreada representa o conjunto:

A) C – (A ∩ B)     B) (A ∩ B) – C        C) A ∪ B ∪ C      D) A  ∩ B ∪ C      E) A ∩ B ∩ C


2. (COPEVE – UNEAL – 2009) Na figura abaixo, R é um retângulo, T é um triângulo e C, um circulo.

QUESTÃO 2 CONJUNTOS

A região hachurada representa o seguinte conjunto:

A) (T ∩ R) – C               B) (T ∩ C) – R                C) (T ∪ C) – R                D) (R ∪ C) – T             E) (R –T) ∩ C


3. (COPEVE – UNEAL – 2010) Considere o diagrama abaixo:

QUESTÃO 3 CONJUNTOS

A parte pintada do diagrama corresponde ao seguinte conjunto:

A) AI BI C           B) BI C            C) B – C          D) (BI C) – A       E) (AI B) Y (AI BI C)

 Resolução – (Questão 3) – Conjuntos – pdf      Resolução – (Questão 3) – Conjuntos – doc


4. (COPEVE – UAB – 2009) Uma pesquisa no estado de Alagoas revelou que, dentre 3.000 pessoas que costumavam ler jornal, 1.000 pessoas liam o O Jornal, 1.100 pessoas liam a Tribuna de Alagoas e 1.400 liam a Gazeta de Alagoas. Se dessas pessoas entrevistadas, 350 liam a Gazeta de Alagoas e O Jornal, 300 liam o O Jornal e a Tribuna de Alagoas, 500 liam a Tribuna de Alagoas e a Gazeta de Alagoas e 100 liam os três jornais, assinale a alternativa correta.

A) 400 pessoas lêem apenas a Tribuna de Alagoas.

B) 1.050 pessoas lêem apenas a Tribuna de Alagoas e a Gazeta de Alagoas.

C) 540 pessoas não lêem nenhum dos três jornais.

D) 500 pessoas lêem apenas um dos três jornais.

E) 950 pessoas lêem mais de um dos três jornais.


5. (COPEVE – UAB – 2007) Por um motivo desconhecido, perderam-se as fichas de matrícula dos alunos que cursavam as disciplinas Matemática, Física e Química de uma determinada turma. Entretanto, consultando-se os diários de classe, observou-se que:

1º)  20 alunos foram aprovados nas três disciplinas;

2º) 35 alunos foram aprovados em Química e Física;

3º) 42 alunos foram aprovados em Matemática e Física;

4º) 22 alunos foram aprovados em Química e Matemática;

5º) o professor de Matemática aprovou 50 alunos;

6º) o professor de Física aprovou 70 alunos;

7º) o professor de Química aprovou 40 alunos.

Quantos alunos há nessa turma?

A) 160        B) 81       C) 79              D) 63              E) 77


6. (COPEVE – UAB – 2006) Numa escola estão matriculados 250 alunos, sendo 36% no período matutino, 12% no vespertino e 52% no noturno.

Marque a alternativa correta.

A) A freqüência do turno matutino é de 80 alunos.

B) A freqüência do turno da tarde é de 60 alunos.

C) O turno da tarde tem uma freqüência maior que o turno noturno.

D) 130 alunos representa a freqüência do turno noturno.

E) A soma da freqüência do turno da tarde com a freqüência do turno matutino é maior que a freqüência do turno noturno.


7. (COPEVE – ALGAS – 2014) Dadas as fórmulas abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer,

(A ⊆ B) ↔ (A – B = Ø)

(A ∩ B = C) → ∀x(((x ∈ A) v (x ∈ B)) → (x ∈ C))

III. (A − B = A) → (B = Ø)

verifica-se que está(ão) correta(s)

A) I, apenas.

B) III, apenas.

C) I e II, apenas.

D) II e III, apenas.

E) I, II e III.


8. COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Dados os conjuntos A={}, B={{}} e C={{2},{3,4}}, é correto afirmar que

A) a cardinalidade de C é superior a de B em 2 elementos.

B) suas cardinalidades são diferentes entre si.

C) as cardinalidades de B e C são iguais.

D) as cardinalidades de A e C são iguais.

E) as cardinalidades de A e B são iguais.


9. (COPEVE – TECNICO UFAL – 2014) Trinta e cinco pessoas estão concorrendo a uma bolsa de estudos numa determinada área de pesquisa. Do total de candidatos, vinte possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área; vinte e três possuem doutorado, e três têm menos que sete anos de experiência na área e não têm doutorado. Quantos concorrentes são doutores e possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área?

A) 22           B) 21              C) 18             D) 15             E) 11


10. (COPEVE – TECNICO UFAL – 2014) Numa turma com 90% de homens, 15% dos alunos são casados. Se 10% dos homens são casados, o percentual de mulheres solteiras com relação ao total das mulheres da turma é de

A) 60%.          B) 50%.           C) 30%.              D) 20%.           E) 10%.

Resolução (Questão 10) Conjuntos. Video


11. (COPEVE – PREFEITURA DE MACEIÓ – 2014) Em relação aos conjuntos de números reais A e B, tal que A = ]-3,9[ = {xϵR: -3 < x < 9} e  B = [3,+∞[ = {xϵR: x ≥ 3}, (R é o conjunto dos números reais), dadas as afirmações abaixo,
I. A ∩ B = [3 , 9].
II. {-2,-1} ⊂ A
III. A ∪ B = { x ϵ R: -3 < x < +∞}.

é correto afirmar que
A) apenas I é verdadeira.
B) apenas II é falsa.
C) apenas I e II são falsas.
D) apenas III é falsa.
E) I, II e III são falsas.


12. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Sabe-se que, numa sala de aula, 20 alunos gostam de Matemática, dos quais 4 também gostam de Português e não gostam de Química. Sabe-se também que todos os 12 alunos que gostam de Química gostam, além desta matéria, apenas de Matemática. Com base nessas informações, qual onúmero exato de alunos dessa sala?

A) 36          B) 34.         C) 32.      D) 24 .   E) 20.


13. COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) . Se A representa o conjunto de torcedores do ASA que moram em Arapiraca e B o conjunto da população de Alagoas, então podemos afirmar que A ∪ B = B. Nessas condições, temos que

A) A ⊂  B         B) A = B.            C) A =  ∅.       D) B ⊂ A.       E) A ∩ B = B.


14. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Numa cidade existem três jornais, denominados aqui por A, B e C. Uma pesquisa de mercado sobre os jornais produziu os seguintes resultados:
115 compravam o jornal A.
208 compravam o jornal B.
182 compravam o jornal C.
30 compravam os jornais A e B.
51 compravam os jornais B e C.
30 compravam os jornais A e C.
10 compram os jornais A, B e C.
200 não compram nenhum dos três jornais
Com base nestas informações, assinale a opção
A) 57 pessoas compram apenas o jornal A.
B) A pesquisa foi realizada com 595 pessoas.
C) 137 pessoas compram apenas o jornal B.
D) 103 pessoas compram apenas o jornal C.
E) 28 pessoas compram apenas o jornal A e C


15. (COPEVE – TRINCHEIRAS – 2014) Num clube há 56 sócios que praticam natação, 21 que praticam natação e basquete, 106 que praticam apenas um desses dois esportes e 66 que não jogam basquete. O número de sócios desse clube que não praticam natação é

A) 31.           B) 71.          C) 92.        D) 158.             E) 102.


16. (COPEVE – UFAL 2014 – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO)  Trinta e cinco pessoas estão concorrendo a uma bolsa de estudos numa determinada área de pesquisa. Do total de candidatos, vinte possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área; vinte e três possuem doutorado, e três têm menos que sete anos de experiência na área e não têm doutorado. Quantos concorrentes são doutores e possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área?

A) 11                B) 15                  C) 18                   D) 21           E) 22

Resolução – (Questão 16) –  Conjuntos.- Video


(17. Questão UERJ) Em uma pesquisa sobre infecção hospitalar foram examinados 200 estetoscópios de diferentes hospitais.
O resultado da pesquisa revelou que:
I) todos os estetoscópios estavam contaminados;
II) em cada um deles havia um único tipo de bactéria;
III) ao todo foram detectados 17 tipos distintos de bactérias nesses 200 estetoscópios examinados;
IV) os estetoscópios recolhidos do primeiro hospital estavam contaminados, só e exclusivamente, por 5 dentre os 17 tipos de bactérias;
V) depois do exame de 187 estetoscópios, verificou-se que todos os 17 tipos de bactérias apareceram em igual número de vezes;
VI) entre os 13 estetoscópios restantes, observou-se a presença de 13 tipos diferentes de bactérias, dentre os 17 tipos encontrados na pesquisa.
A análise dos resultados desta pesquisa permite afirmar que a quantidade mínima de estetoscópios contaminados no primeiro hospital é:
A) 54                 B) 55                C) 56             D) 57

Resolução – (Questão 16) –  Conjuntos.- Vídeo


GABARITO:
1.B      2.A     3.D      4.NULA         5.B      6.D   7.A        8. A     9.A  10.NULA      11.NULA    12.E    13.A     14. NULA    15. VERIFICANDO 16. A     17. C