PROBABILIDADES

Probabilidades

Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades:

Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições.
Exemplos:

No lançamento de um dado honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ou seja, o resultado é incerto.

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Indicaremos por U.
Exemplos:

Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa}

Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino}

 Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório.

Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Vejamos agora os seguintes eventos:

A: Um número par, A = {2, 4, 6}

B: Um número par e primo, B = {2} (evento simples ou elementar)

C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível)

D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U

E: Um número menor que  4 e F:um número maior ou igual a 4. Então: E = {1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, observe que E U F = U, logo, E e F são chamados de eventos complementares. Indicaremos o complementar de um evento A por Ā

G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G = {1, 2} e H = {4, 5, 6}, observe que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

figura  1 prob

n(A) = numero de elementos do evento A

n(U) = número de elementos do espaço Amostral

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:

Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então:

P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B)

Se A ∩ B = Ø, teremos:

P(A U B) = P( A ) + P( B )

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:

Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:

P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES:

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que:

– O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A);

– O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);

– O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);

– O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B, C e N ocorram nessa ordem é:

P = P( A ) . P( B ) . P( C )…P(N)

PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por:

P(A/B) = n ( A ∩ B ) / n ( B)

Exemplos:
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3.

O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6

A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6}, portanto n(A) = 2

P(A) = n(A) / n(B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%

2) Numa urna existem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se 1 bola ao acaso, qual probabilidade de que seu número múltiplo de 4 ou de 5.

O espaço amostral é U = {1, 2, 3, …, 30}, portanto n(U) = 30. A ocorrência de um múltiplo de 4 é A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}, portanto n(A) = 7

P(A) = n(A) / n(B) = 7 / 30

A ocorrência de um múltiplo de 5 é B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, portanto n(B) = 6

P(B) = n(B) / n(U) = 6 / 30

A ∩ B = { 20 }, portanto n ( A ∩ B ) = 1

P(A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (U) = 1 / 30

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 7/30 + 6/30 − 1/30 = 12/30 = 2/5 = 40%

3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de 1/5. Qual a probabilidade desse piloto não ganhar essa corrida ?

Seja P(A) = 1/5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida, então:

P(A) + P(Ā) = 1        →     1/5 + P(Ā) = 1     →      P(Ā) = 1 – 1/5 = 4/5 ou 80%

4) De um baralho de 52 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem?

Considere os eventos :

A : sair um ás na 1ª retirada, então,   P(A) = 4 / 52  = 1 / 13

B: : sair um valete na 2ª retirada, então, P(B) = 4 / 51

Logo a probabilidade de ocorrer ás na 1ª retirada e valete na 2ª retirada sem reposição, é dada por:

P = P(A) . P(B) = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 /  663 = 0,60 %

5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 

A: O 5 em uma das faces, então A= { (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (5,6), (6,5)}, logo :n(A) = 11

B: A soma dos pontos igual a 8, então B= {(2, 6), (6, 2), (3,5), (5, 3), (4, 4)}, logo : n(B) = 5

 A ∩ B = {(3, 5), (5, 3)}, então n(A ∩ B) = 2

Logo a probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B é :

P (A/B) = n(A ∩ B) / n(B) = 2 / 5 = 40 %

Apostila Introdução a Probabilidades – Elaborada pelo Prof. Carlinhos

Questões de Probabilidade

1. (INSTITUTO AOCP – 2016) No chute, qual é a probabilidade de alguém acertar duas questões em que só há as possibilidades “Verdadeiro” e “Falso”?

A) 0,15        B) 0,18           C) 0,20             D) 0,23          E) 0,25

Resolução – (Questão 1) – Probabilidade – Vídeo


2. (FGV –  2015) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades dos funcionários de certa repartição pública:

 bandicam 2016-04-21 23-37-33-268
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é:

A) 30%;          B) 35%;         C) 40%;            D) 45%;         E)55%.

3. (FGV – 2015 ) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5. Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é:

A) 16/25;   B)16/19;     C) 12/19;      D) 4/5;     E) 3/5;

Resolução – (Questão 3) – Probabilidade – Vídeo

4. (UPENET –  2014) Um dado não viciado é lançado 2 vezes. A probabilidade de aparecer o número 5 nos 2 lançamentos é de

A) 1/6              B) 1/66            C) 1/ 2           D) 1/36            E) 1/18

5. (UPENET – 2014)  Jogamos duas vezes um dado não viciado. É CORRETO afirmar que a probabilidade de o produto dos números das faces superiores ser par é de

A) 1/6            B) 1/ 4           C) 3/ 4            D) 1/ 2         E) 0,38

6. (UPENET – 2014) O Departamento de Fiscalização de Trânsito dispõe de dez fiscais, sendo 5 do sexo masculino e 5 do sexo feminino. Pretende criar uma equipe com 3 fiscais sorteados ao acaso. Qual é a probabilidade de os componentes da equipe serem do mesmo sexo?

A) 1/6        B) 1/5       C) ¼          D) 1/3        E) ½

7. (UPENET)  Em uma sala, esperam 6 (seis) homens e 4 (quatro) mulheres. São escolhidas, aleatoriamente, 3 (três) dessas pessoas. Nessas condições, sabendo que as três pessoas escolhidas são distintas, a probabilidade de haver, no máximo, uma mulher no grupo de pessoas escolhidas é igual a

A) 2/3       B) 1/3          C) ½    D) 1      E)3/ 4

8. (UPENET) . Considere um dado não viciado com seis faces distintas numeradas de 1 a 6. É CORRETO afirmar que

A) a probabilidade de a soma dos valores das faces obtidos em três lançamentos deste dado ser maior ou igual a 6 é de 100%.
B) a probabilidade de os valores das faces obtidos em dois lançamentos deste dado serem iguais é estritamente maior que a probabilidade de em algum destes dois lançamentos, o dado cair com face de valor par.
C) a probabilidade de a soma dos valores das faces obtidos em dois lançamentos deste dado ser igual a 5 é estritamente maior que à da mesma soma ser igual a 8.
D) probabilidade de a soma dos valores das faces obtidos em dois lançamentos deste dado ser igual a 8 é estritamente maior que a da mesma soma ser igual a 5.
E) a soma dos valores das faces obtidos em três lançamentos deste dado jamais pode ser igual a 6.

9. (COPEVE – ALGAS – 2014) Num experimento científico, é observado que apenas um dentre três eventos e1, e2 e e pode ser observado por vez. Sabendo-se que a probabilidade de ocorrer e1  ou  e2 é de 55% e que a probabilidade de ocorrer e1 ou e3 é de 62%, qual a probabilidade de ocorrer e2 ou e3?

Resolução – (Questão 9) – Probabilidade – Vídeo

A) 17%            B) 38%          C) 45%            D) 83%            E) 91%

10. (COPEVE – ALGAS – 2014) Uma urna contém seis bolas de pesos e tamanhos iguais, duas delas identificadas pela letra S e as demais pelas letras A, C, E e O. Sorteando-se as bolas, uma a uma e sem reposição, qual é a probabilidade de que a ordem de retirada das bolas forme a palavra ACESSO?

A) 0,002           B) 0,008           C) 0,02           D) 0,032            E) 0,08

11. (COPEVE – CASAL – 2014) Truco é um jogo de cartas muito popular nas regiões sul e sudeste do Brasil. No jogo, utiliza-se o baralho tradicional, composto por quatro naipes de doze cartas. Pelas regras do jogo, um momento de sorte do jogador é quando ele possui três cartas de um mesmo naipe. Qual a probabilidade de que as três primeiras cartas distribuídas aos jogadores sejam do mesmo naipe?

A) 55/3243                 B) 55/1081             C) 3/48              D) 3/16              E) 3/12

12. (COPEVE – ALGAS – 2014) Mensalmente, algumas amigas se reúnem para jantar em um restaurante badalado. Em cada ocasião, através do resultado de um jogo, uma delas é dispensada da conta. No mês passado, o jogo escolhido foi o lançamento de um dado: não pagaria a conta quem obtivesse o maior número de pontos, com realização de desempate, se mais de uma pessoa conseguisse esse maior número. Tendo deixado dinheiro e cartão de crédito na bolsa que ficou em casa, Gisele estava ansiosa para ser contemplada. Se era a última a lançar o dado, e a maior pontuação obtida anteriormente foi quatro pontos, qual era a probabilidade de Gisele livrar-se da despesa sem participar de desempates?

A) 6           B) 3               C) 1/2             D) 1/3             E) 1/6

13. (COPEVE – CASAL – 2014) Como sua filha mais velha nasceu em julho de 1986, o Sr. Fred havia escolhido 0, 7, 1, 9, 8, 6 para serem os seis dígitos da sua senha de acesso aos caixas eletrônicos de seu banco. Pensando em companhar as “normas” da Matemática (“zero à esquerda não tem valor”), ele escolheu um dos dígitos diferente de zero para ser o primeiro. Numa ocasião em que o Sr. Fred esqueça sua senha, qual a probabilidade de acertá-la na primeira tentativa?

A)1/720                 B)1/600                 C)1/120             D)1/72              E)1/60

14. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Periodicamente, um cientista observou o resultado de um determinado experimento. Ele constatou que apenas dois eventos, e1   e e2, eram observáveis e que sempre apenas um deles era visto por vez. Outra constatação foi que a probabilidade de e1  ocorrer foi 25% da probabilidade de e2 ocorrer. Nessas condições, qual foi a probabilidade de e2 ocorrer?

Resolução – (Questão 14) – Probabilidade – Vídeo

A) 25%            B) 50%                C) 70%              D) 75%            E) 80%

15(COPEVE – TRINCHEIRAS – 2014 – ADAPTADA) No lançamento de três dados, observou-se que os resultados são todos distintos. Qual é a probabilidade de que um desses resultados seja igual a 1?

A) 1/216             B) 3/54            C) 91/216            D) 1/10              E) 1/6

GABARITO: 1.E   2.D    3.C   4.D    5.C    6.A    7.A     8.A      9.D      10.A       11.B      12.D      13.B       14.E      15.C