Principio Fundamental de Contagem
O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:
Np = m1 . m2 . m3 …..mn
Exemplo 1:
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
Exemplo 2:
Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?
Podemos escrever 3 .3 . 3 = 27 números de 3 algarismos.
Três algarismos distintos: 3 . 2 . 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.
Exemplo 3:
De quantas maneiras distintas podemos formar placas de automóveis, com 3 letras e 4 algarismos?
Considere as letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9.Considerando as 26 letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9, teremos:
Aplicando a regra do produto, temos:
26 . 26 . 26 .10 .10 .10 . 10 = 175 760 000 placas.
Fatorial
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ….3 . 2 . 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.
Veja alguns exemplos:
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
Observe atentamente os exemplos seguintes:
(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
(n + 1)! = (n + 1) . n!
Permutações sem repetição
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é:
Pn = n!
Exemplos1:
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Exemplos 2:
Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplos 3:
Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
P3=3! = 3.2.1 = 6
Permutações com elementos repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplos1:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2.
P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151.200 anagramas.
Arranjos simples
Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos tomados de 2 em 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos tomados de 3 em 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p (taxa k) por An,p , teremos a seguinte fórmula:
An, p = n! / (n−p)!
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplos:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1, 2,.,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
Combinações simples
Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplos 1:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
Representando por Cn,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p, temos a seguinte fórmula:
Cn,p = n! / p! (n − p)!
Exemplos 2:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3.003
Permutação circular
Na matemática, permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
É definida pela fórmula:
Pc(m) = (m − 1)!
Exemplos 1:
P(4) = (4-1)! = 3! = 6Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Exemplos 2:
Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?
P(10) = (10-1)! = 9! = 362880
Exemplos 3:
5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem formar a roda sem que haja repetição?
P(5) = (5-1)! = 4! = 24