Estude conosco

Questões e Conteúdos de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e outros

Últimas Postagens

Feira Grande 2014 – Fund

1. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  Um carro possui capacidade máxima de 32 litros no tanque de combustível. Com quantos litros deve-se abastecer de gasolina esse carro para que fique com 75% de sua capacidade máxima, sabendo-se que ele possui 10 litros de gasolina do tanque?

A) 10.          B) 12.           C) 14.          D) 22.           E) 24.

Resolução – Questão 1 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

2. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  Uma torta foi cortada em 12 pedaços iguais e distribuídos para 4 pessoas. Duas delas receberam 1/6  do total das partes da torta, outra pessoa recebeu  1/3 do total das partes da torta. Quantos pedaços recebeu a quarta pessoa?

A) 2.             B) 3.               C) 4.             D) 6.             E) 8.

Resolução – Questão 2 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

3. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  Que número é constituído exatamente de cinco dezenas de milhões, seis dezenas de milhares, sete centenas e oito dezenas?

A) 5 060 780.            B) 50 060 708.            C) 50 060 780.              D) 50 600 708.                  E) 500 600 780.

Resolução – Questão 3 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

4. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  Na padaria perto da sua casa, o Sr. João comprou uma barra de 700 g de queijo de coalho por R$ 12,60. Qual o preço do quilograma de queijo de coalho nessa padaria?

A) R$ 8,82.                     B) R$ 15,23.                    C) R$ 16,57.             D) R$ 18,00.              E) R$ 23,00.

Resolução – Questão 4 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

5. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  No almoço de domingo, a família do Sr. Odilon consome uma garrafa de refrigerante de 2,5 L. Se o supermercado em que ele faz compras somente dispõe de refrigerantes em lata de 350 mL, qual o número de latas que o Sr. Odilon deve comprar para mais se aproximar da quantidade usualmente consumida?

A) 5.            B) 7.            C) 8.             D) 10.             E) 14.

Resolução – Questão 5 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

6. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental) (COPEVE – Feira Grande – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  Qual é o menor número positivo que é divisível simultaneamente por 15 e por 25?

A) 1.              B) 5.            C) 40.            D) 75.            E) 375.

Resolução – Questão 6 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

7. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental) Qual é o maior divisor comum dos números 120 e 150?

A) 30.           B) 60.            C) 75.            D) 135.               E) 600.

Resolução – Questão 7 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

8. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental)  Faltando pouco tempo para o início de um clássico do campeonato brasileiro, o narrador informou aos telespectadores que apenas 3/5  dos lugares do estádio estavam ocupados. Nesse momento, para completar a lotação da arena, faltavam ser ocupados

A) 40% dos lugares.               B) 50% dos lugares.             C) 60% dos lugares.             D) 70% dos lugares.                 E) 80% dos lugares.

Resolução – Questão 8 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

9. (COPEVE – Feira Grande – Motoristas e outras – Ensino Fundamental) Em cada bimestre, uma escola exige a realização de cinco tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média aritmética dessas avaliações.

fig.1

Se a tabela acima apresenta as notas obtidas por uma aluna nos cinco tipos de avaliações realizadas, sua nota bimestral foi igual a

A) 6,2.              B) 6,4.                C) 7,0.               D) 8,0.               E) 8,2

Resolução – Questão 9 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

10. (COPEVE – Feira Grande 2014 – Motoristas e outras – Ensino Fundamental) O terreno adquirido pela Sra. Tatiana tem a forma de um trapézio retângulo e suas dimensões são: 10 m de frente (frente paralela à rua), 18 m de frente a fundo pelo lado direito e 22 m de frente a fundo pelo lado esquerdo. Se no fundo do terreno há um muro reto, sua área, em m2, é igual a

A) 100.              B) 180.                C) 200.              D) 220.             E) 400.

Resolução – Questão 10 – Feira Grande 2014 – Motorista – Fundamental – Vídeo

Gabarito: 1.C     2.D     3.C     4.D      5.B     6.D     7.A     8.A      9.E      10.C

Uncisal 2015 – Sup

1. (COPEVE 2015 – UNCISAL – GESTOR EM SAÚDE – NÍVEL SUPERIOR) Em uma clínica existem as funções de médico, técnico de laboratório, recepcionista e expedidor de exames. Suponhamos que: alguns médicos assumem também a função de técnico de laboratório; os recepcionistas não são médicos, mas alguns também são técnicos de laboratório; todos os expedidores de exames são também recepcionistas. Desse contexto, infere-se que

A) existem técnicos de laboratório que não são médicos.
B) os recepcionistas são também expedidores de exames.
C) alguns técnicos de laboratório são expedidores de exames.
D) os expedidores de exames não são técnicos de laboratório.
E) os recepcionistas e médicos, juntos, formam o grupo dos técnicos de laboratório.

Resolução – Questão 1 – Prova Uncisal 2015 – Gestor de Saúde


2. (COPEVE 2015 – UNCISAL – GESTOR EM SAÚDE – NÍVEL SUPERIOR) Em um posto de saúde emergencialmente improvisado, três médicos (A, B e C) fazem o plantão e trabalham ao mesmo tempo, em uma mesma sala, atendendo a qualquer paciente. Existem 25 pessoas aguardando o atendimento em uma fila ordenada de espera. A cada período de tempo, uma recepcionista chama 3 pacientes, que entram e saem juntos. Esses pacientes podem ter sido atendidos por qualquer médico. De quantas formas diferentes os médicos podem ter atendido naquele dia a todos os pacientes, considerando que as consultas têm a mesma duração e que os médicos trabalharam ininterruptamente?
A) 49           B) 51           C) 54              D) 2 027               E) 2 300

Resolução – Questão 2 – Prova Uncisal 2015 – Gestor de Saúde


3. (COPEVE 2015 – UNCISAL – GESTOR EM SAÚDE – NÍVEL SUPERIOR) Se os símbolos lógicos ~, ^, v, → e ↔ representam negação, conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação, respectivamente, e os valores lógicos das proposições atômicas A, B, C e D são, respectivamente, Falso, Falso, Verdadeiro e Falso, qual das fórmulas tem valor lógico verdadeiro?

A) (A v C) ↔ (B v D)              B) ((A ^ ~B) v C) → D                             C) (~A ^ ~B ^ ~C) v D
D) ~(A ^ B) ↔ (C v D)              E) ~A → (B v ~(C v D))

Resolução – Questão 3 – Prova Uncisal 2015 – Gestor de Saúde


4. (COPEVE 2015 – UNCISAL – GESTOR EM SAÚDE – NÍVEL SUPERIOR)  Das informações “Ana e José gostam de Fisiologia”, “Se Maria  gosta de Biologia Celular, então José não gosta de Fisiologia”, e “Maria gosta de Biologia Celular se e somente se Cléo gosta de Química”, infere-se que
A) José gosta de Fisiologia e Cléo gosta de Química.
B) Ana gosta de Fisiologia e Cléo não gosta de Química.
C) Ana não gosta de Fisiologia e Cléo não gosta de Química.
D) Maria gosta de Biologia Celular e José gosta de Fisiologia.
E) Maria gosta de Biologia Celular ou José não gosta de Fisiologia.

Resolução – Questão 4 – Prova Uncisal 2015 – Gestor de Saúde


5. (COPEVE 2015 – UNCISAL – GESTOR EM SAÚDE – NÍVEL SUPERIOR) Se a afirmação “Todo mundo é saudável ou doente” é falsa, então  é verdadeira a assertiva
A) “Alguém é saudável e não é doente”.
B) “Alguém não é saudável e é doente”.
C) “Alguém não é saudável e não é doente”.
D) “Todo mundo é saudável e não é doente”.
E) “Todo mundo não é saudável ou não é doente”.

Resolução – Questão 4 – Prova Uncisal 2015 – Gestor de Saúde


GABARITO:  1. A     2. B     3. D     4. B       5. C

Uncisal 2014 – Méd

1. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Um artigo científico publicou a taxa de contaminação de dois vírus   que surgiram no continente africano durante os três primeiros   trimestres de 2014. O artigo apresentou os resultados através da  matriz

Fig1 Prova uncisal

onde cada elemento aij é o número de pacientes infectados pelo vírus i no trimestre j. Qual a porcentagem do aumento da taxa de contaminação do vírus 2 entre o primeiro e o segundo trimestre?

A) 8,82%            B) 11,3%           C) 13,3%          D) 24,38%              E) 88,2%

Resolução – (Questão 1) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


2. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Corridas de aventuras são competições realizadas em ambiente natural e têm como característica um percurso complexo. Uma certa corrida foi realizada numa região plana e os participantes tiveram como orientação um sistema de navegação, baseado em um plano cartesiano, com as seguintes regras:
I. Todos os participantes saem da origem do plano cartesiano.
II. O eixo X está orientado de Oeste para Leste.
III. O eixo Y está orientado de Sul para Norte.
IV. O competidor deve deslocar-se apenas 1 km por vez no sentido Norte ou no sentido Leste.
V. É obrigatória a passagem do competidor pelo ponto de controle localizado no ponto (4, 3).
VI. A unidade adotada no plano cartesiano é 1 km.

Fig2 Prova uncisal

Quantos caminhos diferentes um competidor pode percorrer para  atingir o ponto final localizado na coordenada (7, 5) obedecendo as regras da competição?
A) 7                   B) 26                   C) 49                D) 169                 E) 350

Resolução – (Questão 2) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


3. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Sabe-se que em um feriado, se João viaja, ele fica feliz. Sabe-se também que em um feriado ou Júnior vai à praia ou vai à piscina. Sempre que Júnior vai à piscina, Jorge vai ao teatro e sempre que Júnior vai à praia, João viaja. No último feriado, Jorge não foi ao teatro, logo,

A) João não viajou e João ficou feliz.                                      B) Júnior foi à praia e Jorge foi ao teatro.
C) João ficou feliz e Júnior não foi à praia.                             D) João ficou feliz e Jorge não foi ao teatro.
E) Jorge não foi ao teatro e João não viajou.

Resolução – (Questão 3) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


4. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Se F, C e T indicam, respectivamente, as proposições “A família Santos está em casa”, “O carro está na garagem” e “A TV está ligada”, qual é a formalização do argumento abaixo?

“A família Santos está em casa somente se o carro está na garagem ou a TV está ligada. O carro não está na garagem. A TV não está ligada. Logo, a família Santos não está em casa.”

A) F v T, ~G, ~T |– F                    B) F v T, ~G, ~T |– ~F                     C) (F → C) v T, C → T |– ~F
D) (F ↔ C) v T, C → T |– ~F                        E) F ↔ (C v T), ~C, ~T |– ~F


5. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Dadas as proposições,

I. Se é verdade que ela é uma cantora carioca, então é verdade que ela é cantora ou nasceu no Rio de Janeiro.
II. Se não é verdade que ela é uma cantora carioca, então é verdade que ela não é cantora, nem nasceu no Rio de Janeiro.
III. Se é verdade que ela é uma cantora ou nasceu no Rio de Janeiro, então é verdade que ela é uma cantora carioca.
verifica-se que, no contexto da lógica matemática, é(são) verdadeira(s)
A) I, apenas.            B) II, apenas.             C) I e III, apenas.         D) II e III, apenas.       E) I, II e III.

Resolução – (Questão 5) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


6. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Ao fim da vigésima rodada de um campeonato de futebol (três pontos por vitória, um ponto por empate e zero ponto por derrota), uma equipe estava com um total de 43 pontos. Dadas as afirmativas,

I. Essa equipe empatou pelo menos dez partidas.
II. Essa equipe venceu pelo menos doze partidas.
III. Essa equipe perdeu pelo menos seis partidas.
verifica-se que está(ão) correta(s)
A) I, II e III.            B) II e III, apenas.                 C) I e III, apenas.               D) II, apenas.             E) I, apenas.

Resolução – (Questão 6) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


7. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO)

[…]
D.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS
DEFINIÇÃO D.1 (MATRIZ)
Uma matriz é um arranjo retangular de números. Mais  precisamente, uma matriz mxn tem m linhas e n colunas. O inteiro positivo m é denominado dimensão da linha, e n é denominado dimensão da coluna. Podemos escrever, de forma geral, uma matriz de ordem mxn como A = [aij], onde aij representa o elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna.

[…]
DEFINIÇÃO D.2 (MATRIZ QUADRADA)
Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas. A dimensão de uma matriz quadrada é dada por seusnúmeros de linhas e colunas.
[…]
DEFINIÇÃO D.4 (MATRIZ DIAGONAL)
Uma matriz quadrada A é uma matriz diagonal quando todos os seus elementos fora da diagonal forem zeros, isto é, aij = 0 para todos i ≠ j.
[…]
DEFINIÇÃO D.8 (TRAÇO)
O traço de uma matriz quadrada A, de ordem nxn, representado tr(A), é a soma dos elementos da diagonal da matriz.

Disponível em:<http://disciplinas.stoa.usp.br/pluginfile.php/176880/mod_resource/content/2/Apendice%20D.pdf>.
Acesso em: 30 out. 2014 (adaptado).

Dadas as afirmativas sobre matrizes,
I. O traço de uma matriz quadrada é um número diferente de zero.
II. Se a matriz A é de ordem 5×10, a25  representa o elemento que está na segunda linha e na quinta coluna de  A III. O elemento a43  de uma matriz diagonal de dimensão 5 é igual a zero.

verifica-se que está(ão) correta(s)

A) I, II e III.            B) II e III, apenas.             C) I e II, apenas.              D) III, apenas.        E) I, apenas.

Resolução – (Questão 7) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


8. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Dadas as afirmativas sobre números inteiros,

I. A metade de um inteiro múltiplo de 36 é par.
II. Um inteiro par cuja soma de seus algarismos é 12 é múltiplo de 6.
III. Se A e B são algarismos do sistema decimal de numeração, então o inteiro AB26 é múltiplo de 4.
verifica-se que está(ão) correta(s)
A) I, apenas.                      B) III, apenas.                         C) I e II, apenas.                      D) II e III, apenas.
E) I, II e III.

Resolução – (Questão 8) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


9. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO)

[…]
A EC-47/05 gerou uma nova regra de aposentadoria que abrange quem tenha ingressado no serviço público até 16/12/98. Ela propicia uma aposentadoria integral, com garantia de paridade plena, antes de o servidor completar a idade considerada normal, requerida na regra de transição da EC-41/03.
O requisito de idade, que é de 60 anos para o homem e 55 anos para a mulher, pode ser reduzido, se for excedido pelo servidor o tempo de contribuição requerido – 35 anos para o homem e 30 anos para a mulher. Será reduzido um ano na idade requerida para cada ano excedente no tempo de contribuição.
A regra adotada está apoiada na “fórmula 95”, que é a seguinte:
a) para o homem – a soma do tempo de contribuição com a idade deve alcançar 95 anos; cada ano de contribuição além dos 35 anos exigidos permite reduzir um ano na idade exigida, de 60
anos;
[…]
Disponível em: <http://www.rvc.adv.br/index.php?option=com_content&view=article&id=546:regras-detransicao-ec-4705&catid=20:cadernos1&Itemid=128>.
Acesso em: 6 dez. 2014.
Se um funcionário ingressou no serviço público antes de 16/12/1998 com dezenove anos de idade, que idade mínima dar-lhe-á direito à aposentadoria, de acordo com a EC-47/05?
A) 38 anos.                  B) 47,5 anos.                      C) 57 anos.                   D) 60 anos.                     E) 76 anos.


10. (COPEVE 2014 – UNCISAL – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Para fins de relatório ao final do ano, a Secretaria Geral de uma universidade registra semanalmente os números de documentos oficiais elaborados. A tabela abaixo apresenta um extrato dos registros do mês de outubro de 2014.

Fig3 Prova uncisal

Nesse contexto, qual a média semanal do número de ofícios elaborados?
A) 3,5                  B) 14,0                  C) 15,0                     D) 16,0                      E) 56,0

Resolução – (Questão 10) – Prova Uncisal 2014 – Vídeo


GABARITO:

1. C    2. E     3. D       4. E       5. A        6. D       7. B           8.C           9. C          10. B

Questões de P.A. e P.G.

1.(COPEVE/ALGAS/ASSISTENTE TÉCNICO DE ENGENHARIAS E PRODUÇÕES/2009)  Se (x, y, z) são os três primeiros termos de uma PA de razão positiva tal que x + y + z = 21 e x.y.z = 315, então o décimo termo desta PA é
A) 23.     B) 24.    C) 25.    D) 21.    E) 22.

2.(COPEVE/ALGAS/ASSISTENTE TÉCNICO DE ENGENHARIAS E PRODUÇÕES/2009) Sabendo que uma sequência (a, b, c) forma uma PA e uma PG, é correto afirmar que

A) a diferença entre a razão da PG e a razão da PA vale 1.

B) o produto das razões da PA e da PG não é um quadrado perfeito, ou seja, não existe nenhum número inteiro que elevado ao quadrado seja igual ao produto.

C) as razões são iguais.

D) o dobro da razão da PA é igual ao quadrado da razão da PG.

E) a soma das razões da PA e da PG é um número primo.

3. (COPEVE/PSS1/2007) A sequencia (a,b,c), de termos estritamente positivos, é uma progressão geométrica de razão igual a 1/3. O número pelo qual deve-se multiplicar o segundo termo dessa sequencia para que a nova sequencia seja uma progressão aritmética é:

A) inteiro      B) múltiplo de 3       C) divisível por 2         D) racional não inteiro         E)  quadrado perfeito

 4. (IDECAN//UPAA-UFAL/ÁREA ASSISTENCIAL/2014) O segundo, o quarto e o sexto termos de uma progressão aritmética são, respectivamente 2a + 5, 6a +3 e 9a + 7. Sobre essa sequencia, é correto afirmar que:

A) a razão é 9.         B) o valor de a é impar            C) o quinto termo é 50        D) o primeiro termo é 8

E) a soma dos dois primeiros termos é 21.

GABARITO: 

1 –  A    2 – A      3 – D       4-C

Questões de Lógica Proposicional

1. (COPEVE – SANTANA DO IPANEMA – BIOMÉDICO – 2014) A negação da condicional: “Se é atleta, joga futebol” é equivalente a qual proposição? Adote P e Q como sendo “ele é atleta” e “ele joga futebol”, respectivamente.

A) P ^~Q             B) Q → P            C) P ↔ Q                D) P v ~Q          E) ~~P → ~Q

Resolução – (Questão 1) – Lógica Proposicional – Vídeo

2. (COPEVE – SANTANA DO IPANEMA – BIOMÉDICO – 2014) Dadas as sentenças abaixo, segundo os conceitos da Lógica Proposicional,

 FIG. Logica Proposicional 1

é correto afirmar que

A) todas as sentenças são proposições.    B) apenas I e II são proposições.     C) apenas II e III são proposições.

D) apenas II é proposição.                         E) apenas III é proposição.

 

3. (COPEVE – SANTANA DO IPANEMA – BIOMÉDICO – 2014) Duas proposições P e Q são logicamente equivalentes se as

tabelas-verdade destas duas proposições forem ambas

A) tautológicas ou contraditórias.                       B) tautológicas, apenas.                         C) contraditórias, apenas.

D) contingentes ou contraditórias.                      E) contingentes, apenas

 Resolução – (Questão 3) – Lógica Proposicional – Vídeo

1.A     2.C      3.A

Questões em Tabelas e Graficos

1. (COPEVE – MACEIÓ – 2012) Uma empresa possui três tipos diferentes de linhas de móveis: Tabaco, Vienna e Cerezo. A Tabela 1 abaixo descreve o número de mesas e cadeiras que acompanham cada uma das linhas, e a Tabela 2 descreve a produção obtida pela empresa nos meses de novembro e dezembro.

FIG raciocinio ded. 8

A quantidade de mesas e cadeiras produzida pela empresa durante os 2 meses foi, respectivamente,

A) 1300 e 3700.           B) 640 e 1960.         C) 1300 e 1960.         D) 1940 e 5660.           E) 1940 e 3200.


2. (COPEVE – ALGAS – 2009) Na semana do natal foram montadas as equipes de plantão para atendimento em uma delegacia de polícia no centro de Maceió. A tabela abaixo mostra as escalas para os plantões em quatro dias consecutivos.

FIG raciocinio ded. 9

Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois delegados e cinco agentes. Então, os delegados são:

A) Lucas e Paulo.               B) Marcos e Pedro.                C) Jonas e Paulo.               D) Jonas e Mônica.

E) Túlio e Mônica.


3. (COPEVE – ALGAS – 2009 – ADAPTADA) Ao final de uma campanha para a compra de um bebedouro novo para uma escola, a arrecadação foi apresentada pela seguinte tabela:

FIG raciocinio ded. 10

Qual a diferença entre o valor médio que doado e o menor valor doado?

A) R$ 4,365.         B) R$ 4,735.           C) R$ 4,805.             D) R$ 3,295.             E) R$ 3,475.

GABARITO: 1.D        2.A        3.E

 

Questões de Raciocínio Dedutivo

1. (COPEVE)  Os símbolos © e ® na tabela abaixo representam uma operação matemática.

raciocinio ded.

Então, o valor de “x” que aparece na tabela é igual a.

A)  8        B)  6          C) – 8            D) – 6.            E) – 5

Resolução em vídeo


2. (COPEVE) Vitor está construindo uma sequência de quadrados com palitos de fósforos conforme figura abaixo.

FIG raciocinio ded. 2

Quantos palitos de fósforos são necessários para Vitor construir 200 quadrados?

A) 602         B) 506          C) 502           D) 504          E) 606

Resolução em vídeo


3. (COPEVE) Com azulejos quadrados de mesmo tamanho, de cor branca e cinza, construímos os seguintes mosaicos:

FIG raciocinio ded. 3

A regra para tal construção é a seguinte: inicialmente formamos um quadrado com um azulejo branco cercado por azulejos cinza; e, em seguida, outro quadrado, este com quatro azulejos brancos, também cercados por azulejos cinza, e assim sucessivamente. Com 91 azulejos brancos, quantos azulejos cinza são necessários para se construir uma sequência de mosaicos como esta?

A) 106          B) 102        C) 104          D) 110           E) 108


4. (COPEVE) Samuel está construindo uma sequência de quadrados com palitos de fósforos conforme figura abaixo.

FIG raciocinio ded. 4

Quantos palitos de fósforos são necessários para Samuel construir 133 quadrados?

A) 500         B) 480          C) 400          D) 380            E) 580

Resolução em vídeo


5. (COPEVE – MACEIÓ – 2012) Dada a sucessão de valores da figura abaixo, qual opção corresponde ao valor x na ponta da estrela?

FIG raciocinio ded. 5

A) 14       B) 57            C) 35          D) 3            E) 24

Resolução em vídeo


 6. (COPEVE − PALMEIRAS DOS ÍNDIOS − 2012) Considere a sucessão de valores da figura abaixo:

Qual opção corresponde ao valor x?

FIG raciocinio ded. 6

A) 32          B) 36           C) 48           D) 112          E) 120

Resolução em vídeo


7.(COPEVE) Observe o sólido vazado abaixo.

Então, em relação ao número de faces deste sólido, podemos  dizer que ele é

FIG raciocinio ded. 7

A) menor que 50.     B) igual a 50.        C) maior que 70.        D) um número ímpar.      E) divisível por 3.


8. (COPEVE – CASAL – 2010) Na sequência numérica abaixo o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 81(33)15; 46(9)28; 97(?)17

O número que está faltando dentro dos parênteses é:

A) 35         B) 40.     C) 20.        D) 15.        E) 50


9. (COPEVE – RIO LARGO – 2010) Um professor propôs um problema com exatamente duas respostas corretas para cinco alunos. Ao resolver esse problema os alunos encontraram, como resposta, respectivamente, 1 e 9; 8 e 9; 8 e 5; 3 e 5; 9 e 6. Ao fazer a correção do problema o professor observou que um dos alunos errou as duas respostas, e os demais acertaram uma delas e errara a outra. Nestas condições, podemos dizer que as respostas corretas do problema são:

A) 3 e 5.             B) 8 e 9.            C) 8 e 3.            D) 3 e 9.            E) 9 e 6.


10. (COPEVE – RIO LARGO – 2010  –  ADAPTADA) Adriana nasceu no dia 25 do mês de abril de 1974. Se, em um determinado ano, o mês de abril somente tem 4 domingos, podemos afirmar que o aniversário de Adriana não poderá acontecer em um dia de:

A) segunda-feira.        B) sexta-feira.        C) quarta-feira.      D) quinta-feira.       E) sábado.


11. (COPEVE – RIO LARGO – 2010). Considere a seguinte afirmação:

“Uma melancia pesa 3 kg mais meia melancia.” Podemos, então, concluir que uma melancia e meia pesa

A) 6 kg.         B) 7 kg.           C) 8 kg.       D) 9 kg.       E) 10 kg.

Resolução em vídeo


12. (PALMEIRAS DOS INDIOS – 2012) João irá fazer uma viagem de Lua de Mel para a cidade e Campos do Jordão. Ao fazer a reserva no Hotel, João informou ao recepcionista que chegaria no dia 26 de junho, uma terça-feira, e que sairia do hotel no dia 14 de agosto, que cai

A) numa segunda-feira.              B) numa terça-feira.                C) numa quarta-feira.        D) numa sexta-feira.

E) num domingo


13. (COPEVE – MACEIO – 2012) Se 10 de março de certo ano foi uma quinta-feira, então o dia 29 de agosto desse mesmo ano foi

A) uma quarta-feira.       B) uma quinta-feira.        C) um domingo.       D) uma segunda-feira.

E) uma terça-feira.


14. (TRE/SC – ANALISTA JUDICIÁRIO – 2013) Observe a sequência numérica abaixo e assinale a alternativa CORRETA, que corresponde ao próximo número da sequência:
77, 49, 36, 18,….

A) 8             B) 7              C) 10             D)14

Resolução em vídeo


 

1. C      2.  C       3. E      4.C      5.C      6.E     7.E    8.B    9. D    10. C       11.D   12.B      13.D    14.A

Analise Combinatória – Conteúdo

Principio Fundamental de Contagem

O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:

Np = m1 . m2 . m3 …..mn

Exemplo 1:

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Exemplo 2:

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?

Podemos escrever 3 .3 . 3 = 27 números de 3 algarismos.
Três algarismos distintos: 3 . 2 . 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

Exemplo 3:

De quantas maneiras distintas podemos formar placas de automóveis, com 3 letras e 4 algarismos?

Considere as letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9.Considerando as 26 letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9, teremos:

figura  1 comb

Aplicando a regra do produto, temos:

26 . 26 . 26 .10 .10 .10 . 10 = 175 760 000 placas. 

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)  ….3 . 2 . 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800

Observe atentamente os exemplos seguintes:

(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!

(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!

(n + 1)! = (n + 1) . n!

Permutações sem repetição

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é:

Pn = n!   
Exemplos1:

P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exemplos 2:

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplos 3:

Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

P3=3! = 3.2.1 = 6

Permutações com elementos repetidos

 Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

figura  2 comb

Exemplos1:

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2.

P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151.200 anagramas.

Arranjos simples

Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos tomados de 2 em 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos tomados de 3 em 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p (taxa k) por An,p , teremos a seguinte fórmula:

An, p = n! / (n−p)!

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

 Exemplos:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1, 2,.,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

Combinações simples

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplos 1:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.

Representando por Cn,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p, temos a seguinte fórmula:

Cn,p  = n! / p! (n − p)!

 Exemplos 2:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3.003

Permutação circular

Na matemática, permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

É definida pela fórmula:

Pc(m) = (m − 1)!

Exemplos 1:

P(4) = (4-1)! = 3! = 6Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Exemplos 2:

Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?

P(10) = (10-1)! = 9! = 362880

Exemplos 3:

5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem formar a roda sem que haja repetição?
P(5) = (5-1)! = 4! = 24

Probabilidades

Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades:

Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições.
Exemplos:

No lançamento de um dado honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ou seja, o resultado é incerto.

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Indicaremos por U.
Exemplos:

Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa}

Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino}

 Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório.

Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Vejamos agora os seguintes eventos:

A: Um número par, A = {2, 4, 6}

B: Um número par e primo, B = {2} (evento simples ou elementar)

C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível)

D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U

E: Um número menor que  4 e F:um número maior ou igual a 4. Então: E = {1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, observe que E U F = U, logo, E e F são chamados de eventos complementares. Indicaremos o complementar de um evento A por Ā

G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G = {1, 2} e H = {4, 5, 6}, observe que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

figura  1 prob

n(A) = numero de elementos do evento A

n(U) = número de elementos do espaço Amostral

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:

Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então:

P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B)

Se A ∩ B = Ø, teremos:

P(A U B) = P( A ) + P( B )

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:

Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:

P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES:

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que:

– O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A);

– O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);

– O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);

– O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B, C e N ocorram nessa ordem é:

P = P( A ) . P( B ) . P( C )…P(N)

PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por:

P(A/B) = n ( A ∩ B ) / n ( B)

Exemplos:
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3.

O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6

A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6}, portanto n(A) = 2

P(A) = n(A) / n(B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%

2) Numa urna existem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se 1 bola ao acaso, qual probabilidade de que seu número múltiplo de 4 ou de 5.

O espaço amostral é U = {1, 2, 3, …, 30}, portanto n(U) = 30. A ocorrência de um múltiplo de 4 é A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}, portanto n(A) = 7

P(A) = n(A) / n(B) = 7 / 30

A ocorrência de um múltiplo de 5 é B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, portanto n(B) = 6

P(B) = n(B) / n(U) = 6 / 30

A ∩ B = { 20 }, portanto n ( A ∩ B ) = 1

P(A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (U) = 1 / 30

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 7/30 + 6/30 − 1/30 = 12/30 = 2/5 = 40%

3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de 1/5. Qual a probabilidade desse piloto não ganhar essa corrida ?

Seja P(A) = 1/5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida, então:

P(A) + P(Ā) = 1        →     1/5 + P(Ā) = 1     →      P(Ā) = 1 – 1/5 = 4/5 ou 80%

4) De um baralho de 52 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem?

Considere os eventos :

A : sair um ás na 1ª retirada, então,   P(A) = 4 / 52  = 1 / 13

B: : sair um valete na 2ª retirada, então, P(B) = 4 / 51

Logo a probabilidade de ocorrer ás na 1ª retirada e valete na 2ª retirada sem reposição, é dada por:

P = P(A) . P(B) = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 /  663 = 0,60 %

5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 

A: O 5 em uma das faces, então A= { (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (5,6), (6,5)}, logo :n(A) = 11

B: A soma dos pontos igual a 8, então B= {(2, 6), (6, 2), (3,5), (5, 3), (4, 4)}, logo : n(B) = 5

 A ∩ B = {(3, 5), (5, 3)}, então n(A ∩ B) = 2

Logo a probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B é :

P (A/B) = n(A ∩ B) / n(B) = 2 / 5 = 40 %

Apostila Introdução a Probabilidades – Elaborada pelo Prof. Carlinhos

Noções Básicas de Conjunto

Representação de um conjunto

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos representados entre chaves por letras minúsculas.

Exemplos:
– O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,…, z}.
– O conjunto dos dias da semana; S= {segunda, terça,… domingo}  
– A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras:

1 – Por extensão:

Quando o número de elementos são finitos pequeno  suficiente para representá-los explicitamente.

Exemplos:
– Conjunto dos meses do ano; A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,…, Novembro, Dezembro}
– Conjunto das vogais; V = {a, e, i, o, u}
– Conjunto dos números pares positivos; P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}

 2 – Por compreensão:

Um conjunto é representado por compreensão quando: é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos. Isto é, uma propriedade que os seus e só os seus elementos possuam.

Exemplos:
B = {meses do ano}
D =  {os meus CDs de música}
P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N}
Q= {x ∊ N: x é primo}
R = {x: x é um número natural par e positivo}
S = {x ∊ Z: 2≤x<5}

 3 – Por Diagrama

Consiste em representar os elementos de um conjunto internamente a um retângulo (geralmente) e os elementos dos subconjuntos, limitados por uma linha fechada e não entrelaçada.

Exemplo:

A é o conjunto das vogais do nosso alfabeto

Figura 1 conj

Conjunto unitário

É o conjunto que possui um único elemento.

Exemplo:
A= { fevereiro},
B =  { número primo que é par}.

Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elementos. É representado por: { } ou Ø.

Exemplo:
Assim teríamos: A= { } ou A = Ø

 Relação de pertinência

 Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto.

Exemplos:
F = {0, 2, 4, 6, 8,…}
2  ∈  F →  lê-se: 2 pertence a F.
3  ∉  F→ lê-se: 3 não pertence a F.

Relação de Inclusão

Usamos os símbolos de inclusão de conjunto na relação entre dois conjuntos.

⊂  →  está contido             ⊄  →  não está contido        ⊃  →  contém         ⊅  →  não contém       ⊆   →  está contido ou é subconjunto ou é uma parte            A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)

Exemplos:

1)  Dados os conjuntos abaixo, E = {-2, -1, 0}, F = {0, 2, 4, 6, 8, …} e  G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Podemos afirmar que F ⊂  G, G ⊃ F, E ⊅ F, F ⊄ E

2) A ⊂ B ou B ⊃ A

Fiigura 2 conj

Subconjuntos 

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim: A ⊂ B, que se lê: A está contido em B. Simbolicamente escrevemos:   A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

O conjunto A = {2, 3, 4, 5} é um subconjunto de  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a recíproca não é verdadeira). Quando dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum (C = D), implica em: C ⊂ D e D ⊂ C. Por exemplo o conjunto C ={3, 6, 9}  está contido em D = {9, 3, 6} e vice-versa.

Caso exista pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B.  Simbolicamente escrevemos:   ∃x /  (x ∈ A e x ∉  B) ⇒ A ⊄ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos possíveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que é representado por P (A).    

 P(A) = {x/x ⊂ A}

Exemplo:
Sendo o conjunto A={2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue:
Com zero elemento – { }

Com um elemento – {2}, {3}, {5}
Com dois elementos – {2,3}, {2, 5}, {3, 5}
Com três elementos – {2,3, 5}

Assim, temos:P(A) = { {  }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2, 5}, {3, 5}, {2,3, 5} }

Pode-se demonstrar que, se n(P(A)) = k então, o número de elementos que formam o conjunto das partes de A, é dado por (P(A))=2k.

Operações com conjuntos

 1 – União

A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se: C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:  A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo:

Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7}  e, B = {1, 3, 4},  temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7}  Também podemos representar a união usando diagramas:

Fiigura 3 conj

2 – Intersecção

Chamamos de intersecção de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constituído pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos: A ∩ B, lê-se: “A intersecção B“, ou por simplicidade “A inter B“. Esquematicamente temos: A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}

Exemplo:

Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos: L   V = {a, o} . Em diagramas:

Fiigura 4 conj

3 – Diferença

Denominamos diferença AB (lê-se: A menos B), o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B, seja: Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos:, temos que a diferença LV = {c, r, l,  s} .

Em diagramas: A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}

4 – Número de elementos da união de dois conjuntos


Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A B).  A relação utilizando o diagrama:

Fiigura 5 conj

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

5- Número de elementos da união de três conjuntos

Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:

Fiigura 6 conj

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)

Exemplo
Uma avaliação contendo duas questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:

– 50 alunos acertaram as duas questões.
– 100 alunos acertaram a primeira questão.
– 99 alunos acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?
1º questão = n(A)
2º questão = n(B)
Acertaram as duas questões → n(A ∩ B) = 50
Acertaram somente a questão A → n(A) – n(A ∩ B) = 100 – 50 = 50
Acertaram somente a questão B → n(B) – n(A ∩ B) = 99 – 50 = 49
Erraram as duas questões → U – n(A) – n(B) – n(A∩ B) = 200 – 50 – 50 – 49 = 51
figura 7 conj

Exercícios para resolvermos no curso

1) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Resposta:

O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 :
O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 – 870 = 130 ;
O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

2) (PUC) – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.2) (PUC) – Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ? .

Programas  E   N  H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

A) 200      B) os dados do problema estão incorretos       C) 900          D) 100        E) N.D.A

Resposta : Letra a

Categorias