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Probabilidades

Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades:

Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições.
Exemplos:

No lançamento de um dado honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ou seja, o resultado é incerto.

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Indicaremos por U.
Exemplos:

Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa}

Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino}

 Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório.

Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Vejamos agora os seguintes eventos:

A: Um número par, A = {2, 4, 6}

B: Um número par e primo, B = {2} (evento simples ou elementar)

C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível)

D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U

E: Um número menor que  4 e F:um número maior ou igual a 4. Então: E = {1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, observe que E U F = U, logo, E e F são chamados de eventos complementares. Indicaremos o complementar de um evento A por Ā

G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G = {1, 2} e H = {4, 5, 6}, observe que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

figura  1 prob

n(A) = numero de elementos do evento A

n(U) = número de elementos do espaço Amostral

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:

Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então:

P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B)

Se A ∩ B = Ø, teremos:

P(A U B) = P( A ) + P( B )

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:

Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:

P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES:

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que:

– O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A);

– O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);

– O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);

– O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B, C e N ocorram nessa ordem é:

P = P( A ) . P( B ) . P( C )…P(N)

PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por:

P(A/B) = n ( A ∩ B ) / n ( B)

Exemplos:
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3.

O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6

A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6}, portanto n(A) = 2

P(A) = n(A) / n(B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%

2) Numa urna existem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se 1 bola ao acaso, qual probabilidade de que seu número múltiplo de 4 ou de 5.

O espaço amostral é U = {1, 2, 3, …, 30}, portanto n(U) = 30. A ocorrência de um múltiplo de 4 é A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}, portanto n(A) = 7

P(A) = n(A) / n(B) = 7 / 30

A ocorrência de um múltiplo de 5 é B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, portanto n(B) = 6

P(B) = n(B) / n(U) = 6 / 30

A ∩ B = { 20 }, portanto n ( A ∩ B ) = 1

P(A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (U) = 1 / 30

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 7/30 + 6/30 − 1/30 = 12/30 = 2/5 = 40%

3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de 1/5. Qual a probabilidade desse piloto não ganhar essa corrida ?

Seja P(A) = 1/5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida, então:

P(A) + P(Ā) = 1        →     1/5 + P(Ā) = 1     →      P(Ā) = 1 – 1/5 = 4/5 ou 80%

4) De um baralho de 52 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem?

Considere os eventos :

A : sair um ás na 1ª retirada, então,   P(A) = 4 / 52  = 1 / 13

B: : sair um valete na 2ª retirada, então, P(B) = 4 / 51

Logo a probabilidade de ocorrer ás na 1ª retirada e valete na 2ª retirada sem reposição, é dada por:

P = P(A) . P(B) = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 /  663 = 0,60 %

5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 

A: O 5 em uma das faces, então A= { (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (5,6), (6,5)}, logo :n(A) = 11

B: A soma dos pontos igual a 8, então B= {(2, 6), (6, 2), (3,5), (5, 3), (4, 4)}, logo : n(B) = 5

 A ∩ B = {(3, 5), (5, 3)}, então n(A ∩ B) = 2

Logo a probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B é :

P (A/B) = n(A ∩ B) / n(B) = 2 / 5 = 40 %

Apostila Introdução a Probabilidades – Elaborada pelo Prof. Carlinhos

Noções Básicas de Conjunto

Representação de um conjunto

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos representados entre chaves por letras minúsculas.

Exemplos:
– O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,…, z}.
– O conjunto dos dias da semana; S= {segunda, terça,… domingo}  
– A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras:

1 – Por extensão:

Quando o número de elementos são finitos pequeno  suficiente para representá-los explicitamente.

Exemplos:
– Conjunto dos meses do ano; A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,…, Novembro, Dezembro}
– Conjunto das vogais; V = {a, e, i, o, u}
– Conjunto dos números pares positivos; P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}

 2 – Por compreensão:

Um conjunto é representado por compreensão quando: é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos. Isto é, uma propriedade que os seus e só os seus elementos possuam.

Exemplos:
B = {meses do ano}
D =  {os meus CDs de música}
P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N}
Q= {x ∊ N: x é primo}
R = {x: x é um número natural par e positivo}
S = {x ∊ Z: 2≤x<5}

 3 – Por Diagrama

Consiste em representar os elementos de um conjunto internamente a um retângulo (geralmente) e os elementos dos subconjuntos, limitados por uma linha fechada e não entrelaçada.

Exemplo:

A é o conjunto das vogais do nosso alfabeto

Figura 1 conj

Conjunto unitário

É o conjunto que possui um único elemento.

Exemplo:
A= { fevereiro},
B =  { número primo que é par}.

Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elementos. É representado por: { } ou Ø.

Exemplo:
Assim teríamos: A= { } ou A = Ø

 Relação de pertinência

 Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto.

Exemplos:
F = {0, 2, 4, 6, 8,…}
2  ∈  F →  lê-se: 2 pertence a F.
3  ∉  F→ lê-se: 3 não pertence a F.

Relação de Inclusão

Usamos os símbolos de inclusão de conjunto na relação entre dois conjuntos.

⊂  →  está contido             ⊄  →  não está contido        ⊃  →  contém         ⊅  →  não contém       ⊆   →  está contido ou é subconjunto ou é uma parte            A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)

Exemplos:

1)  Dados os conjuntos abaixo, E = {-2, -1, 0}, F = {0, 2, 4, 6, 8, …} e  G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Podemos afirmar que F ⊂  G, G ⊃ F, E ⊅ F, F ⊄ E

2) A ⊂ B ou B ⊃ A

Fiigura 2 conj

Subconjuntos 

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim: A ⊂ B, que se lê: A está contido em B. Simbolicamente escrevemos:   A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

O conjunto A = {2, 3, 4, 5} é um subconjunto de  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a recíproca não é verdadeira). Quando dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum (C = D), implica em: C ⊂ D e D ⊂ C. Por exemplo o conjunto C ={3, 6, 9}  está contido em D = {9, 3, 6} e vice-versa.

Caso exista pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B.  Simbolicamente escrevemos:   ∃x /  (x ∈ A e x ∉  B) ⇒ A ⊄ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos possíveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que é representado por P (A).    

 P(A) = {x/x ⊂ A}

Exemplo:
Sendo o conjunto A={2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue:
Com zero elemento – { }

Com um elemento – {2}, {3}, {5}
Com dois elementos – {2,3}, {2, 5}, {3, 5}
Com três elementos – {2,3, 5}

Assim, temos:P(A) = { {  }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2, 5}, {3, 5}, {2,3, 5} }

Pode-se demonstrar que, se n(P(A)) = k então, o número de elementos que formam o conjunto das partes de A, é dado por (P(A))=2k.

Operações com conjuntos

 1 – União

A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se: C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:  A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo:

Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7}  e, B = {1, 3, 4},  temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7}  Também podemos representar a união usando diagramas:

Fiigura 3 conj

2 – Intersecção

Chamamos de intersecção de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constituído pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos: A ∩ B, lê-se: “A intersecção B“, ou por simplicidade “A inter B“. Esquematicamente temos: A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}

Exemplo:

Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos: L   V = {a, o} . Em diagramas:

Fiigura 4 conj

3 – Diferença

Denominamos diferença AB (lê-se: A menos B), o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B, seja: Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos:, temos que a diferença LV = {c, r, l,  s} .

Em diagramas: A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}

4 – Número de elementos da união de dois conjuntos


Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A B).  A relação utilizando o diagrama:

Fiigura 5 conj

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

5- Número de elementos da união de três conjuntos

Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:

Fiigura 6 conj

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)

Exemplo
Uma avaliação contendo duas questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:

– 50 alunos acertaram as duas questões.
– 100 alunos acertaram a primeira questão.
– 99 alunos acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?
1º questão = n(A)
2º questão = n(B)
Acertaram as duas questões → n(A ∩ B) = 50
Acertaram somente a questão A → n(A) – n(A ∩ B) = 100 – 50 = 50
Acertaram somente a questão B → n(B) – n(A ∩ B) = 99 – 50 = 49
Erraram as duas questões → U – n(A) – n(B) – n(A∩ B) = 200 – 50 – 50 – 49 = 51
figura 7 conj

Exercícios para resolvermos no curso

1) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Resposta:

O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 :
O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 – 870 = 130 ;
O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

2) (PUC) – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.2) (PUC) – Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ? .

Programas  E   N  H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

A) 200      B) os dados do problema estão incorretos       C) 900          D) 100        E) N.D.A

Resposta : Letra a

Questões de Probabilidade

1. (INSTITUTO AOCP – 2016) No chute, qual é a probabilidade de alguém acertar duas questões em que só há as possibilidades “Verdadeiro” e “Falso”?

A) 0,15        B) 0,18           C) 0,20             D) 0,23          E) 0,25

Resolução – (Questão 1) – Probabilidade – Vídeo


2. (FGV –  2015) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades dos funcionários de certa repartição pública:

 bandicam 2016-04-21 23-37-33-268
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é:

A) 30%;          B) 35%;         C) 40%;            D) 45%;         E)55%.

3. (FGV – 2015 ) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5. Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é:

A) 16/25;   B)16/19;     C) 12/19;      D) 4/5;     E) 3/5;

Resolução – (Questão 3) – Probabilidade – Vídeo

4. (UPENET –  2014) Um dado não viciado é lançado 2 vezes. A probabilidade de aparecer o número 5 nos 2 lançamentos é de

A) 1/6              B) 1/66            C) 1/ 2           D) 1/36            E) 1/18

5. (UPENET – 2014)  Jogamos duas vezes um dado não viciado. É CORRETO afirmar que a probabilidade de o produto dos números das faces superiores ser par é de

A) 1/6            B) 1/ 4           C) 3/ 4            D) 1/ 2         E) 0,38

6. (UPENET – 2014) O Departamento de Fiscalização de Trânsito dispõe de dez fiscais, sendo 5 do sexo masculino e 5 do sexo feminino. Pretende criar uma equipe com 3 fiscais sorteados ao acaso. Qual é a probabilidade de os componentes da equipe serem do mesmo sexo?

A) 1/6        B) 1/5       C) ¼          D) 1/3        E) ½

7. (UPENET)  Em uma sala, esperam 6 (seis) homens e 4 (quatro) mulheres. São escolhidas, aleatoriamente, 3 (três) dessas pessoas. Nessas condições, sabendo que as três pessoas escolhidas são distintas, a probabilidade de haver, no máximo, uma mulher no grupo de pessoas escolhidas é igual a

A) 2/3       B) 1/3          C) ½    D) 1      E)3/ 4

8. (UPENET) . Considere um dado não viciado com seis faces distintas numeradas de 1 a 6. É CORRETO afirmar que

A) a probabilidade de a soma dos valores das faces obtidos em três lançamentos deste dado ser maior ou igual a 6 é de 100%.
B) a probabilidade de os valores das faces obtidos em dois lançamentos deste dado serem iguais é estritamente maior que a probabilidade de em algum destes dois lançamentos, o dado cair com face de valor par.
C) a probabilidade de a soma dos valores das faces obtidos em dois lançamentos deste dado ser igual a 5 é estritamente maior que à da mesma soma ser igual a 8.
D) probabilidade de a soma dos valores das faces obtidos em dois lançamentos deste dado ser igual a 8 é estritamente maior que a da mesma soma ser igual a 5.
E) a soma dos valores das faces obtidos em três lançamentos deste dado jamais pode ser igual a 6.

9. (COPEVE – ALGAS – 2014) Num experimento científico, é observado que apenas um dentre três eventos e1, e2 e e pode ser observado por vez. Sabendo-se que a probabilidade de ocorrer e1  ou  e2 é de 55% e que a probabilidade de ocorrer e1 ou e3 é de 62%, qual a probabilidade de ocorrer e2 ou e3?

Resolução – (Questão 9) – Probabilidade – Vídeo

A) 17%            B) 38%          C) 45%            D) 83%            E) 91%

10. (COPEVE – ALGAS – 2014) Uma urna contém seis bolas de pesos e tamanhos iguais, duas delas identificadas pela letra S e as demais pelas letras A, C, E e O. Sorteando-se as bolas, uma a uma e sem reposição, qual é a probabilidade de que a ordem de retirada das bolas forme a palavra ACESSO?

A) 0,002           B) 0,008           C) 0,02           D) 0,032            E) 0,08

11. (COPEVE – CASAL – 2014) Truco é um jogo de cartas muito popular nas regiões sul e sudeste do Brasil. No jogo, utiliza-se o baralho tradicional, composto por quatro naipes de doze cartas. Pelas regras do jogo, um momento de sorte do jogador é quando ele possui três cartas de um mesmo naipe. Qual a probabilidade de que as três primeiras cartas distribuídas aos jogadores sejam do mesmo naipe?

A) 55/3243                 B) 55/1081             C) 3/48              D) 3/16              E) 3/12

12. (COPEVE – ALGAS – 2014) Mensalmente, algumas amigas se reúnem para jantar em um restaurante badalado. Em cada ocasião, através do resultado de um jogo, uma delas é dispensada da conta. No mês passado, o jogo escolhido foi o lançamento de um dado: não pagaria a conta quem obtivesse o maior número de pontos, com realização de desempate, se mais de uma pessoa conseguisse esse maior número. Tendo deixado dinheiro e cartão de crédito na bolsa que ficou em casa, Gisele estava ansiosa para ser contemplada. Se era a última a lançar o dado, e a maior pontuação obtida anteriormente foi quatro pontos, qual era a probabilidade de Gisele livrar-se da despesa sem participar de desempates?

A) 6           B) 3               C) 1/2             D) 1/3             E) 1/6

13. (COPEVE – CASAL – 2014) Como sua filha mais velha nasceu em julho de 1986, o Sr. Fred havia escolhido 0, 7, 1, 9, 8, 6 para serem os seis dígitos da sua senha de acesso aos caixas eletrônicos de seu banco. Pensando em companhar as “normas” da Matemática (“zero à esquerda não tem valor”), ele escolheu um dos dígitos diferente de zero para ser o primeiro. Numa ocasião em que o Sr. Fred esqueça sua senha, qual a probabilidade de acertá-la na primeira tentativa?

A)1/720                 B)1/600                 C)1/120             D)1/72              E)1/60

14. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Periodicamente, um cientista observou o resultado de um determinado experimento. Ele constatou que apenas dois eventos, e1   e e2, eram observáveis e que sempre apenas um deles era visto por vez. Outra constatação foi que a probabilidade de e1  ocorrer foi 25% da probabilidade de e2 ocorrer. Nessas condições, qual foi a probabilidade de e2 ocorrer?

Resolução – (Questão 14) – Probabilidade – Vídeo

A) 25%            B) 50%                C) 70%              D) 75%            E) 80%

15(COPEVE – TRINCHEIRAS – 2014 – ADAPTADA) No lançamento de três dados, observou-se que os resultados são todos distintos. Qual é a probabilidade de que um desses resultados seja igual a 1?

A) 1/216             B) 3/54            C) 91/216            D) 1/10              E) 1/6

GABARITO: 1.E   2.D    3.C   4.D    5.C    6.A    7.A     8.A      9.D      10.A       11.B      12.D      13.B       14.E      15.C

Questões de Conjuntos

1. (COPEVE – PRE-VESTIBULAR – COPEVE 2008) Na figura abaixo se têm representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos:

QUESTÃO 1 CONJUNTOS

A região sombreada representa o conjunto:

A) C – (A ∩ B)     B) (A ∩ B) – C        C) A ∪ B ∪ C      D) A  ∩ B ∪ C      E) A ∩ B ∩ C


2. (COPEVE – UNEAL – 2009) Na figura abaixo, R é um retângulo, T é um triângulo e C, um circulo.

QUESTÃO 2 CONJUNTOS

A região hachurada representa o seguinte conjunto:

A) (T ∩ R) – C               B) (T ∩ C) – R                C) (T ∪ C) – R                D) (R ∪ C) – T             E) (R –T) ∩ C


3. (COPEVE – UNEAL – 2010) Considere o diagrama abaixo:

QUESTÃO 3 CONJUNTOS

A parte pintada do diagrama corresponde ao seguinte conjunto:

A) AI BI C           B) BI C            C) B – C          D) (BI C) – A       E) (AI B) Y (AI BI C)

 Resolução – (Questão 3) – Conjuntos – pdf      Resolução – (Questão 3) – Conjuntos – doc


4. (COPEVE – UAB – 2009) Uma pesquisa no estado de Alagoas revelou que, dentre 3.000 pessoas que costumavam ler jornal, 1.000 pessoas liam o O Jornal, 1.100 pessoas liam a Tribuna de Alagoas e 1.400 liam a Gazeta de Alagoas. Se dessas pessoas entrevistadas, 350 liam a Gazeta de Alagoas e O Jornal, 300 liam o O Jornal e a Tribuna de Alagoas, 500 liam a Tribuna de Alagoas e a Gazeta de Alagoas e 100 liam os três jornais, assinale a alternativa correta.

A) 400 pessoas lêem apenas a Tribuna de Alagoas.

B) 1.050 pessoas lêem apenas a Tribuna de Alagoas e a Gazeta de Alagoas.

C) 540 pessoas não lêem nenhum dos três jornais.

D) 500 pessoas lêem apenas um dos três jornais.

E) 950 pessoas lêem mais de um dos três jornais.


5. (COPEVE – UAB – 2007) Por um motivo desconhecido, perderam-se as fichas de matrícula dos alunos que cursavam as disciplinas Matemática, Física e Química de uma determinada turma. Entretanto, consultando-se os diários de classe, observou-se que:

1º)  20 alunos foram aprovados nas três disciplinas;

2º) 35 alunos foram aprovados em Química e Física;

3º) 42 alunos foram aprovados em Matemática e Física;

4º) 22 alunos foram aprovados em Química e Matemática;

5º) o professor de Matemática aprovou 50 alunos;

6º) o professor de Física aprovou 70 alunos;

7º) o professor de Química aprovou 40 alunos.

Quantos alunos há nessa turma?

A) 160        B) 81       C) 79              D) 63              E) 77


6. (COPEVE – UAB – 2006) Numa escola estão matriculados 250 alunos, sendo 36% no período matutino, 12% no vespertino e 52% no noturno.

Marque a alternativa correta.

A) A freqüência do turno matutino é de 80 alunos.

B) A freqüência do turno da tarde é de 60 alunos.

C) O turno da tarde tem uma freqüência maior que o turno noturno.

D) 130 alunos representa a freqüência do turno noturno.

E) A soma da freqüência do turno da tarde com a freqüência do turno matutino é maior que a freqüência do turno noturno.


7. (COPEVE – ALGAS – 2014) Dadas as fórmulas abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer,

(A ⊆ B) ↔ (A – B = Ø)

(A ∩ B = C) → ∀x(((x ∈ A) v (x ∈ B)) → (x ∈ C))

III. (A − B = A) → (B = Ø)

verifica-se que está(ão) correta(s)

A) I, apenas.

B) III, apenas.

C) I e II, apenas.

D) II e III, apenas.

E) I, II e III.


8. COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Dados os conjuntos A={}, B={{}} e C={{2},{3,4}}, é correto afirmar que

A) a cardinalidade de C é superior a de B em 2 elementos.

B) suas cardinalidades são diferentes entre si.

C) as cardinalidades de B e C são iguais.

D) as cardinalidades de A e C são iguais.

E) as cardinalidades de A e B são iguais.


9. (COPEVE – TECNICO UFAL – 2014) Trinta e cinco pessoas estão concorrendo a uma bolsa de estudos numa determinada área de pesquisa. Do total de candidatos, vinte possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área; vinte e três possuem doutorado, e três têm menos que sete anos de experiência na área e não têm doutorado. Quantos concorrentes são doutores e possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área?

A) 22           B) 21              C) 18             D) 15             E) 11


10. (COPEVE – TECNICO UFAL – 2014) Numa turma com 90% de homens, 15% dos alunos são casados. Se 10% dos homens são casados, o percentual de mulheres solteiras com relação ao total das mulheres da turma é de

A) 60%.          B) 50%.           C) 30%.              D) 20%.           E) 10%.

Resolução (Questão 10) Conjuntos. Video


11. (COPEVE – PREFEITURA DE MACEIÓ – 2014) Em relação aos conjuntos de números reais A e B, tal que A = ]-3,9[ = {xϵR: -3 < x < 9} e  B = [3,+∞[ = {xϵR: x ≥ 3}, (R é o conjunto dos números reais), dadas as afirmações abaixo,
I. A ∩ B = [3 , 9].
II. {-2,-1} ⊂ A
III. A ∪ B = { x ϵ R: -3 < x < +∞}.

é correto afirmar que
A) apenas I é verdadeira.
B) apenas II é falsa.
C) apenas I e II são falsas.
D) apenas III é falsa.
E) I, II e III são falsas.


12. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Sabe-se que, numa sala de aula, 20 alunos gostam de Matemática, dos quais 4 também gostam de Português e não gostam de Química. Sabe-se também que todos os 12 alunos que gostam de Química gostam, além desta matéria, apenas de Matemática. Com base nessas informações, qual onúmero exato de alunos dessa sala?

A) 36          B) 34.         C) 32.      D) 24 .   E) 20.


13. COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) . Se A representa o conjunto de torcedores do ASA que moram em Arapiraca e B o conjunto da população de Alagoas, então podemos afirmar que A ∪ B = B. Nessas condições, temos que

A) A ⊂  B         B) A = B.            C) A =  ∅.       D) B ⊂ A.       E) A ∩ B = B.


14. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Numa cidade existem três jornais, denominados aqui por A, B e C. Uma pesquisa de mercado sobre os jornais produziu os seguintes resultados:
115 compravam o jornal A.
208 compravam o jornal B.
182 compravam o jornal C.
30 compravam os jornais A e B.
51 compravam os jornais B e C.
30 compravam os jornais A e C.
10 compram os jornais A, B e C.
200 não compram nenhum dos três jornais
Com base nestas informações, assinale a opção
A) 57 pessoas compram apenas o jornal A.
B) A pesquisa foi realizada com 595 pessoas.
C) 137 pessoas compram apenas o jornal B.
D) 103 pessoas compram apenas o jornal C.
E) 28 pessoas compram apenas o jornal A e C


15. (COPEVE – TRINCHEIRAS – 2014) Num clube há 56 sócios que praticam natação, 21 que praticam natação e basquete, 106 que praticam apenas um desses dois esportes e 66 que não jogam basquete. O número de sócios desse clube que não praticam natação é

A) 31.           B) 71.          C) 92.        D) 158.             E) 102.


16. (COPEVE – UFAL 2014 – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO)  Trinta e cinco pessoas estão concorrendo a uma bolsa de estudos numa determinada área de pesquisa. Do total de candidatos, vinte possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área; vinte e três possuem doutorado, e três têm menos que sete anos de experiência na área e não têm doutorado. Quantos concorrentes são doutores e possuem, no mínimo, sete anos de experiência na área?

A) 11                B) 15                  C) 18                   D) 21           E) 22

Resolução – (Questão 16) –  Conjuntos.- Video


(17. Questão UERJ) Em uma pesquisa sobre infecção hospitalar foram examinados 200 estetoscópios de diferentes hospitais.
O resultado da pesquisa revelou que:
I) todos os estetoscópios estavam contaminados;
II) em cada um deles havia um único tipo de bactéria;
III) ao todo foram detectados 17 tipos distintos de bactérias nesses 200 estetoscópios examinados;
IV) os estetoscópios recolhidos do primeiro hospital estavam contaminados, só e exclusivamente, por 5 dentre os 17 tipos de bactérias;
V) depois do exame de 187 estetoscópios, verificou-se que todos os 17 tipos de bactérias apareceram em igual número de vezes;
VI) entre os 13 estetoscópios restantes, observou-se a presença de 13 tipos diferentes de bactérias, dentre os 17 tipos encontrados na pesquisa.
A análise dos resultados desta pesquisa permite afirmar que a quantidade mínima de estetoscópios contaminados no primeiro hospital é:
A) 54                 B) 55                C) 56             D) 57

Resolução – (Questão 16) –  Conjuntos.- Vídeo


GABARITO:
1.B      2.A     3.D      4.NULA         5.B      6.D   7.A        8. A     9.A  10.NULA      11.NULA    12.E    13.A     14. NULA    15. VERIFICANDO 16. A     17. C

Questões de Analise Combinatória

1. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Dispomos de cinco cores distintas; todas elas deverão ser usadas para pintar cada letra da palavra “copeve”, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isto?

A) 125       B) 120     C) 105     D) 145        E) 13

Resolução – (Questão 1) – Análise Combinatória – pdf      Resolução – (Questão 1) – Análise Combinatória – doc

2. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Dispomos O técnico da seleção brasileira precisa definir um time titular formado por 11 jogadores. Sabendo-se que o time deve ser definido dentro de um plantel de 15 jogadores, e que no futebol moderno todos os jogadores podem jogar em todas as posições, o número de escalações diferentes que pode ser formado com esse grupo é

A) 30.      B) 165.     C) 1326.      D) 1365.      E) 2165.

Resolução – (Questão 2) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 2) – Análise Combinatória – doc

3. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012) Um cidadão foi abrir o cofre, mas esqueceu a senha de acesso; no entanto, lembrava que na senha não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 4, o segundo era impar, o terceiro era menor que 4 e o quarto e último era par. Qual o maior número de tentativas que este cidadão pode fazer, no intuito de descobrir a senha?

A) 110     B) 60        C) 70           D) 100             E) 80

Resolução – (Questão 3) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 3) – Análise Combinatória – doc

4. (COPEVE – MINISTÉRIO PUBLICO – 2012)  Apesar de todos os caminhos levarem a cidade de Maceió eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem seis caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade de Salvador para a cidade de Aracaju mais oito caminhos de Aracaju, e sabendo-se que Marcos saiu de carro de Salvador até Maceió, passando necessariamente por Aracaju, de quantos modos Marcos poderá fazer esse percurso?

A) 24        B) 48       C) 40        D) 38       E) 14

Resolução – (Questão 4) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 4) – Análise Combinatória – doc

 5. (COPEVE – CASAL –  2014) O Departamento de Recursos Humanos de uma empresa tem oito funcionários. Com esses funcionários, quantas comissões com três membros podem ser formadas?

A) 8         B) 28        C) 56          D) 488          E) 5 040

Resolução – (Questão 5) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 5) – Análise Combinatória – doc

6.  (COPEVE – CASAL – 2014) Quantos triângulos têm vértices nos pontos A, B, C, D, e E da figura?

A) 8      B) 5      C) 10    D) 12    E) 14

Resolução – (Questão 6) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 6) – Análise Combinatória – doc

7. (COPEVE – FEIRA – GRANDE 2014) Quantas linhas de telefone celular são identificadas por uma sequência de 8 dígitos, com os 4 primeiros distintos entre si e não nulos?

A) 4 x 104            B) 32 x 108           C) 3024 x 104     D) 6521 x 104     E) 6521 x 108

Resolução – (Questão 7) – Análise Combinatória – pdf     Resolução – (Questão 7) – Análise Combinatória – doc

8. (COPEVE – FEIRA – GRANDE 2014) Uma Cooperativa de Leite de Alagoas identifica cada caixa de leite do tipo integral com uma sequência de três letras seguida por três algarismos e cada caixa de leite desnatado com uma sequência de três letras seguida de quatro algarismos. As caixas de leite são identificadas pelas letras CLA e pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Sabe-se, também, que as caixas são identificadas sem a repetição de letras e algarismos e a identificação nunca é repetida. Quantas caixas de leite a Cooperativa pode identificar com esse sistema?

Resolução – (Questão 8) – Análise Combinatória – pdff     Resolução – (Questão 8) – Análise Combinatória – doc

A) 2 016         B) 4 032           C) 8 064          D) 10 080        E) 12 096

9. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) O código de barras de identificação dos equipamentos de uma empresa é formado por uma Sequência de 3 barras de 2,5 mm e 4 barras de 1,0 mm. Se cada sequência identifica um único equipamento, quantos equipamentos diferentes podem ser identificados?

A)11.           B)12.           C)30.       D) 32.         E)35.

Resolução – (Questão 9) – Análise – Video

10. (COPEVE – UFAL – 2014) Para a realização de uma avaliação, um professor disponibilizou 10 questões, devendo cada aluno escolher 4 delas. Considerando a possibilidade de escolhas de questões diferentes, de quantos modos um aluno pode fazer esta avaliação?

A) 240         B) 210              C) 120           D) 40            E) 24

Resolução – (Questão 10) – Análise – Vídeo

11. (COPEVE – UFAL – 2010 – Prefeitura de Rio Largo) – Um aluno escreveu como tarefa de casa todos os números inteiros de 1 até 200. Podemos afirmar que nesta tarefa de casa o referido aluno escreveu o algarismo 9 quantas vezes?

A) 28 vezes.        B) 18 vezes.      C) 40 vezes.       D) 30 vezes.       E ) 38 vezes.

Resolução – (Questão 11) – Análise Combinatória – PDF     Resolução – (Questão 11) – Análise Combinatória – doc

12. (COPEVE –  UFAL – 2012) – Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve ser escolhida em uma turma com vinte estudantes, para participar de uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpíada no ano anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte da equipe?

A) 3.872       B) 3.874          C) 3.876          D) 3.878                     E) 3.880

Resolução – (Questão 12) – Análise- Combinatória – Vídeo

13. (COPEVE – FEIRA GRANDE – 2014) Quantos anagramas da palavra escolas começam com a letra c?

A) 5 040.            B) 720              C) 360.             D) 240.            E) 120.

Resolução – (Questão 13) – Análise- Combinatória – Vídeo

14(COPEVE – TRINCHEIRAS – 2014) Numa sala há 8 lâmpadas diferentes. Cada uma delas pode estar acesa ou apagada. De quantos modos diferentes esta sala pode ser iluminada?

A) 40 320            B) 255          C) 256           D) 5 040          E) 1 024

 Resolução – (Questão 14) – Análise- Combinatória – Vídeo

15. (CESGRANRIO – 2013 – BNDS – TÉCNICO ADMINISTRÁTIVO) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco.

De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?

A) 13       B) 14      C) 16    D) 17      E) 18

 Resolução – (Questão 15) – Análise- Combinatória – Vídeo

 GABARITO: 

1.B      2. D      3. B     4.B       5.C       6.C       7. C      8.E       9.E      10.B      11.C       12.C        13.C       14.B    15.C

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