Probabilidades

Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades:

Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições.
Exemplos:

No lançamento de um dado honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ou seja, o resultado é incerto.

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Indicaremos por U.
Exemplos:

Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa}

Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino}

 Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório.

Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Vejamos agora os seguintes eventos:

A: Um número par, A = {2, 4, 6}

B: Um número par e primo, B = {2} (evento simples ou elementar)

C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível)

D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U

E: Um número menor que  4 e F:um número maior ou igual a 4. Então: E = {1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, observe que E U F = U, logo, E e F são chamados de eventos complementares. Indicaremos o complementar de um evento A por Ā

G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G = {1, 2} e H = {4, 5, 6}, observe que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

figura  1 prob

n(A) = numero de elementos do evento A

n(U) = número de elementos do espaço Amostral

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:

Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então:

P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B)

Se A ∩ B = Ø, teremos:

P(A U B) = P( A ) + P( B )

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:

Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:

P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES:

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que:

– O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A);

– O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);

– O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);

– O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B, C e N ocorram nessa ordem é:

P = P( A ) . P( B ) . P( C )…P(N)

PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por:

P(A/B) = n ( A ∩ B ) / n ( B)

Exemplos:
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3.

O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6

A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6}, portanto n(A) = 2

P(A) = n(A) / n(B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%

2) Numa urna existem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se 1 bola ao acaso, qual probabilidade de que seu número múltiplo de 4 ou de 5.

O espaço amostral é U = {1, 2, 3, …, 30}, portanto n(U) = 30. A ocorrência de um múltiplo de 4 é A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}, portanto n(A) = 7

P(A) = n(A) / n(B) = 7 / 30

A ocorrência de um múltiplo de 5 é B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, portanto n(B) = 6

P(B) = n(B) / n(U) = 6 / 30

A ∩ B = { 20 }, portanto n ( A ∩ B ) = 1

P(A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (U) = 1 / 30

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 7/30 + 6/30 − 1/30 = 12/30 = 2/5 = 40%

3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de 1/5. Qual a probabilidade desse piloto não ganhar essa corrida ?

Seja P(A) = 1/5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida, então:

P(A) + P(Ā) = 1        →     1/5 + P(Ā) = 1     →      P(Ā) = 1 – 1/5 = 4/5 ou 80%

4) De um baralho de 52 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem?

Considere os eventos :

A : sair um ás na 1ª retirada, então,   P(A) = 4 / 52  = 1 / 13

B: : sair um valete na 2ª retirada, então, P(B) = 4 / 51

Logo a probabilidade de ocorrer ás na 1ª retirada e valete na 2ª retirada sem reposição, é dada por:

P = P(A) . P(B) = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 /  663 = 0,60 %

5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 

A: O 5 em uma das faces, então A= { (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (5,6), (6,5)}, logo :n(A) = 11

B: A soma dos pontos igual a 8, então B= {(2, 6), (6, 2), (3,5), (5, 3), (4, 4)}, logo : n(B) = 5

 A ∩ B = {(3, 5), (5, 3)}, então n(A ∩ B) = 2

Logo a probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B é :

P (A/B) = n(A ∩ B) / n(B) = 2 / 5 = 40 %

Apostila Introdução a Probabilidades – Elaborada pelo Prof. Carlinhos

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